设 $A,B$ 为 $M$ 上的闭集, 且 $A\cap B=\emptyset$, 则存在光滑函数 $f:M\rightarrow\mathbb{R}$, 使得

\[
f|_{A}\equiv 1,\quad f|_{B}\equiv 0.
\]

证明: 可定向微分流形的连通和仍可定向.

不可定向微分流形的连通和是可定向的吗?

证明: 如果微分流形被两个局部坐标邻域所覆盖, 并且它们的交集连通, 则该流形必定是可定向的.

将此题推广至三个坐标邻域, 此时如何判断流形是否可定向? 更多的坐标邻域呢?

Hint:

根据 det 的连续性, 以及转换映射的 Jacobi 行列式处处非零.

证明: 如果流形 $M,N$ 均可定向, 则 $M\times N$ 也是可定向流形;

反之, 如果 $M\times N$ 可定向, 则 $M$ 和 $N$ 都是可定向.

证明微分流形转换映射的 Jacobi 行列式在定义域内是处处非零的.

证明: 微分同胚的流形具有相同的维数.

按照定义说明: 微分流形的局部坐标映射实际上是从坐标邻域到其像的微分同胚.

Moise 等证明了维数不超过 3 的拓扑流形上存在唯一的一个微分结构.

后来, Milnor 发现在七维球面上存在不同于标准微分结构的微分结构, 这个结果当时在数学界引起了不小的轰动. (所谓不同, 是指两个流形不是微分同胚的, 即微分结构不等价.)

Milnor 和 Kervaire 证明了在七维球面上一共存在 28 个不同的微分结构, 它们组成一个有限循环群. 其中一个自然是标准的微分结构, Milnor 将其他 27 种微分结构称为 7 维怪球.

人们也早就发现, 除了 $\mathbb{R}^4$ 以外, 欧氏空间上的微分结构都是唯一的. 后来, 由于 Freedman 和 Donaldson 等的工作, 人们发现在四维欧氏空间上甚至存在不可数多个不同的微分结构.

继续阅读:

Abel Prize Laureate 2011

John Willard Milnor

http://www.abelprize.no/c53720/binfil/download.php?tid=53742

如何得到 7 维球?

7维球是通常三维空间中二维球面的推广. 圆周是一维球面. 固定一维球面（圆周）的北极和南极，然后将圆周在第三个维空间中旋转一周, 就得到了二维球面. 类似的, 固定二维球面的北极和南极, 将二维球面在第四维空间中旋转一周, 就得到了三维球面. 依次得到四维球面、五维球面、六维球面、七维球面.

$S^4$ 上的微分结构是唯一的, 还是有多个或者无穷多, 至今仍是 open problem.

"$S^4$ 上有唯一微分结构" 这个猜测被称为 4 维时的光滑 Poincaré 猜测. 命名这个猜测的背景是 1982 年 Michael Freedman 证明了 4 维情形的 Poincaré 猜测. 即, 若一个 4 维流形同伦等价于一个 4 维球面, 则它也同胚于一个 4 维球面. 

M. Freedman 给了一个 open question 作为进一步研究,  如果一个 4 维流形同伦等价于一个 4 维球面, 它是否也微分同胚于一个 4 维球面?

Milnor 的怪球表明光滑 Poincaré 猜想在 7 维时是错的.

Milnor 写的 Poincaré 猜测

http://www.claymath.org/sites/default/files/poincare.pdf

见问题2883

Remark:

1986年, Michael Freedman 因解决了四维的 Poincaré 猜想而获得菲尔兹奖.

Michael Freedman 1982年关于四维流形的文章[2] [link]

References:

[1] 梅加强, 《流形与几何初步》

[2] Michael Hartley Freedman, The topology of four-dimensional manifolds, J. Differential Geom. 17(3): 357-453 (1982). DOI: 10.4310/jdg/1214437136

考虑 $\mathbb{R}$ 上的映射

\[
\varphi:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\quad\varphi(u)=u^3,\ \forall\ u\in\mathbb{R}.
\]

显然 $\varphi$ 是同胚, 因此它定义了 $\mathbb{R}$ 上的一个微分结构, 证明它和标准的微分结构不相容.

证明这两个微分结构所定义的两个微分流形 $(\mathbb{R}, \text{str}_1)$ 与 $(\mathbb{R}, \text{str}_2)$ 是微分同胚的.

References:

梅加强, 《流形与几何初步》, 科学出版社. 2013 年 1 月.

给定一个 $C^r(r\geqslant 1)$ 微分构造, 一定存在一个相容的 $C^{\infty}$ 微分构造.