考虑 $\mathbb{R}$ 上的映射
\[
\varphi:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\quad\varphi(u)=u^3,\ \forall\ u\in\mathbb{R}.
\]
显然 $\varphi$ 是同胚, 因此它定义了 $\mathbb{R}$ 上的一个微分结构, 证明它和标准的微分结构不相容.
证明这两个微分结构所定义的两个微分流形 $(\mathbb{R}, \text{str}_1)$ 与 $(\mathbb{R}, \text{str}_2)$ 是微分同胚的.
References:
梅加强, 《流形与几何初步》, 科学出版社. 2013 年 1 月.
1
标准微分结构由 $\text{id}:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, $u\mapsto u$ 定义的. 因此 $\varphi$ 与 $\text{id}$ 的转换映射为
\[
\varphi\circ\text{id}^{-1}=\varphi,\quad\text{和}\quad\text{id}\circ\varphi^{-1}=\varphi^{-1}.
\]
其中 $\varphi$ 是 $C^{\infty}$ 的, 但是 $\varphi^{-1}$ 在 $0$ 点不是 $C^1$ 的. 因此它们不是相容的微分结构.
令 $f:\ (\mathbb{R},\text{str}_1)\rightarrow(\mathbb{R},\text{str}_2)$ 为 $t\mapsto t^3$. 这里 $\text{str}_1$ 由 $\varphi:u\mapsto u^3$ 所确定, $\text{str}_2$ 是标准微分结构.
$f$ 显然是连续映射, 并且在两个微分结构下, 局部坐标系下 $f$ 的表示为
\[
\text{id}\circ f\circ\varphi^{-1},
\]
$f^{-1}$ 的局部表示为
\[
\varphi\circ f^{-1}\circ\text{id}^{-1}.
\]
注意这里 $\varphi\circ f^{-1}$ 直接视为恒同映射.
它们都是 $C^{\infty}$ 映射. 因此这两个微分流形是微分同胚的.
即尽管这两个微分结构不相容, 但是它们确定的微分流形是同胚的, 我们称这两个微分结构是等价的. 我们不必区分等价的微分结构.