问题及解答

按照定义说明: 微分流形的局部坐标映射实际上是从坐标邻域到其像的微分同胚.

局部坐标映射 $\varphi_{\alpha}:\ U_{\alpha}\rightarrow\varphi_{\alpha}(U_{\alpha})\subset\mathbb{R}^n$ 是从 $U_{\alpha}$ 到 $\varphi_{\alpha}(U_{\alpha})$ 的同胚.

要证 $\varphi_{\alpha}$ 是微分同胚, 则需要证明 $\varphi_{\alpha}$ 和 $\varphi_{\alpha}^{-1}$ 均是 $C^r$ 映射.

令 $M=U_{\alpha}$, $N=\varphi_{\alpha}(U_{\alpha})$, 考虑映射 $\varphi_{\alpha}:\ M\rightarrow N$. 对任给 $p\in M$ 和 $q=\varphi_{\alpha}(p)\in N$ 附近的局部坐标系 $(V,\psi)$, 这里 $\psi=\text{id}$, 均存在 $p$ 附近的局部坐标系 $(U,\varphi)$, $\varphi=\varphi_{\alpha}$, 使得 $\varphi_{\alpha}(U)\subset V$, 且 $\varphi_{\alpha}$ 在这两个局部坐标系下的局部表示

\[
\psi\circ\varphi_{\alpha}\circ\varphi^{-1}:\ \varphi(U)\rightarrow\psi(V)
\]

即为 $\text{id}\circ\varphi_{\alpha}\circ\varphi_{\alpha}^{-1}=\text{id}$,  当然是 $C^r$ 映射. 故得证.