问题及解答

证明: 如果流形 $M,N$ 均可定向, 则 $M\times N$ 也是可定向流形;

反之, 如果 $M\times N$ 可定向, 则 $M$ 和 $N$ 都是可定向.

流形 $M,N$ 可定向, 根据定义, 存在 $M$ 的局部坐标覆盖 $\{(U_{\alpha},\varphi_{\alpha})\}_{\alpha\in A}$, 使得当 $U_{\alpha}\cap U_{\beta}\neq\emptyset$ 时, $\det J(\varphi_{\beta}\cap\varphi_{\alpha}^{-1}) > 0$.

以及存在 $N$ 的局部坐标覆盖 $\{(V_{\gamma},\psi_{\gamma})\}_{\gamma\in\Gamma}$, 使得当 $V_{\gamma}\cap V_{\delta}\neq\emptyset$ 时, $\det J(\psi_{\gamma}\cap\psi_{\delta}^{-1}) > 0$.

于是, 对于乘积流形 $M\times N$, 我们可取 $(U_{\alpha}\times V_{\gamma}, (\varphi_{\alpha},\psi_{\gamma}))$ 为其局部图卡. 这样

\[
\{(U_{\alpha}\times V_{\gamma}, (\varphi_{\alpha},\psi_{\gamma}))\}
\]

构成 $M\times N$ 的局部坐标系. 其转换映射的 Jacobi 矩阵为

\[
\begin{pmatrix}
J(\varphi_{\beta}\circ\varphi_{\alpha}^{-1}) & 0\\
0 & J(\psi_{\delta}\circ\psi_{\gamma}^{-1})\\
\end{pmatrix}
\]

因此, $M\times N$ 的转换映射的 Jacobi 行列式也总是正的.

反之, 可见, $M\times N$ 可定向, 必可推出 $M$ 和 $N$ 均可定向.