问题及解答

证明: $\mathbb{R}P^n$ 当 $n$ 是奇数时是可定向的, 偶数时不可定向.

而且 $\mathbb{R}P^n$ 和 $\mathbb{C}P^n$ 都是紧致流形.

其他方法参见问题756.

考虑自然映射

\[p:\ S^n\rightarrow\mathbb{R}P^n\]

它将 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的单位向量映射为由它张成的子空间.

具体的, 若 $x_1\neq 0$, 则 $x=(x_2,\ldots,x_{n+1})$ 可作为 $S^n$ 的局部坐标.(即考虑 $U_i=\{(x_1,x_2,\ldots,x_{n+1})\in S^n\mid x_i\neq 0\}$.)

与通常一样, $(\frac{x_2}{x_1},\ldots,\frac{x_{n+1}}{x_1})$ 是 $\mathbb{R}P^n$ 上的局部坐标. 于是

\[p(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\|x\|^2}}x.\]

这是一个光滑映射, 并且有光滑的逆映射

\[q(y)=\frac{1}{\sqrt{1+\|y\|^2}}y.\]

因此, 我们也可以使用 $(x_2,\ldots, x_{n+1})$ 作为 $\mathbb{R}P^n$ 的局部坐标.

设 $\sigma:\ S^n\rightarrow S^n$ 是镜像映射, 即 $\sigma(x)=-x$, 当然是微分同胚. 若 $\omega$ 是 $S^n$ 上的体积形式, 即

\[\omega=(-1)^i\frac{1}{x_i}dx_1\wedge\cdots\wedge dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}\wedge\cdots\wedge dx_{n+1}\]

则

\[
\begin{split}
\sigma^*\omega&=(-1)^i\frac{1}{-x_i}d(-x_1)\wedge\cdots\wedge d(-x_{i-1})\wedge d(-x_{i+1})\wedge\cdots\wedge d(-x_{n+1})\\
&=(-1)^{n-1}\omega
\end{split}
\]

假设 $\mathbb{R}P^n$ 是可定向的, 则它具有一个处处非零的 $n$-形式 $\theta$. 由于 $p$ 有光滑逆, $p$ 的微分也是可逆的, 因此 $p^*\theta$ 也是 $S^n$ 上的处处非零的 $n$-形式, 故存在某个处处非零的光滑函数 $f$, 使得

\[p^*\theta=f\omega.\]

但是 $p\circ\sigma=p$, 因此

\[f\omega=p^*\theta=(p\circ\sigma)^*\theta=\sigma^* p^* \theta=\sigma^*(f\omega)=(\sigma^* f)(\sigma^*\omega)=(f\circ\sigma)(-1)^{n-1}\omega\]

于是, 若 $n$ 是偶数, 则有

\[f\circ\sigma=-f.\]

从而 $f(-a)=-f(a)$, 若 $f(a) > 0$, 则 $f(-a) < 0$. 注意到 $\mathbb{R}P^n$ 是连通的, 这是因为连续映射 $p:\ S^n\rightarrow\mathbb{R}P^n$ 保持连通性. 因此 $f$ 必在某点取值零. 这得出矛盾.

因此, $\mathbb{R}P^{2m}$ 是不可定向的.

连续映射 $p:\ S^n\rightarrow\mathbb{R}P^n$ 也保持紧性, 因此 $\mathbb{R}P^n$ 紧致的.

Remark: 关于 $\mathbb{C}P^n$ 是紧致的证明是类似的.