证明: 群 $SO(3)$ 同胚于射影空间 $\mathbb{R}P^3$.
证明: 群 $SO(3)$ 同胚于射影空间 $\mathbb{R}P^3$. 请构造微分同胚.
Hint: 将群 $SO(3)$ 的元素表示为空间绕某个轴旋转某个角.
证明: 群 $SO(3)$ 同胚于射影空间 $\mathbb{R}P^3$. 请构造微分同胚.
Hint: 将群 $SO(3)$ 的元素表示为空间绕某个轴旋转某个角.
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$SU(2)$ 中的矩阵形如
\[
u=\begin{pmatrix}z_1 & z_2\\ -\overline{z_2} & \overline{z_1}\end{pmatrix},\quad |z_1|^2+|z_2|^2=1.
\]
证明是直接的, 参见问题793的答案.
从而 $SU(2)$ 同胚于 $\{(z_1,z_2)\mid |z_1|^2+|z_2|^2=1\}$ 即 $S^3$. 又 $SU(2)$ 中的 $\pm u$ 对应到 $SO(3)$ 中的一个矩阵, 具体如何对应参见问题793的答案.
因此 $SO(3)$ 同胚于 $S^3$ 粘合对径点后的集合, 即 $\mathbb{R}P^3$.