考虑集合
\[D=\{(\vec{x},\vec{y})\in\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\mid \langle\vec{x},\vec{y}\rangle=0,\ \text{且}\ |\vec{x}|=|\vec{y}|=1\},\]
即
\[D=\{(\vec{x},\vec{y})\in S^2\times S^2\mid \langle\vec{x},\vec{y}\rangle=0.\}\]
并定义 $D$ 中元素之间的距离
\[\|(\vec{x},\vec{y})-(\vec{z},\vec{w})\|:=\sqrt{|\vec{x}-\vec{z}|^2+|\vec{y}-\vec{w}|^2}=\|(\vec{x}-\vec{z},\vec{y}-\vec{w})\|\]
首先证明这个度量是定义合理的, 其次证明 $D$ 在该度量诱导的拓扑之下是一个拓扑流形, 并计算它的维数.
Q. 能否将此问题推广?
1
首先证明度量的定义是合理的. 只要证明满足三角不等式. 其余如非负性、对称性等显然满足.
任取标准正交向量组 $(\vec{u},\vec{v})$, 我们要证明
\[\|(\vec{x},\vec{y})-(\vec{z},\vec{w})\|\leqslant\|(\vec{x},\vec{y})-(\vec{u},\vec{v})\|+\|(\vec{u},\vec{v})-(\vec{z},\vec{w})\|\]
实际上我们可以证明更加一般的, 这里我们假设 $\{\vec{a}_i\}$, $\{\vec{b}_i\}$, $\{\vec{c}_i\}$ 是三组向量, $i=1,2,\ldots,m$. (为方便, 下面的证明对于向量都略去了箭头符号.)
若定义
\[\|(a_1,a_2\ldots,a_m)-(b_1,b_2,\ldots,b_m)\|^2:=\sum_{i=1}^{m}|a_i-b_i|^2,\]
则可证明 $\|\cdot\|$ 满足三角不等式.
\[\|(a_1,a_2\ldots,a_m)-(c_1,c_2,\ldots,c_m)\|\leqslant\|(a_1,a_2\ldots,a_m)-(b_1,b_2,\ldots,b_m)\|+\|(b_1,b_2,\ldots,b_m)-(c_1,c_2\ldots,c_m)\|\]
这等价于要证明
\[\sqrt{\sum_{i=1}^{m}|a_i-c_i|^2}\leqslant\sqrt{\sum_{i=1}^{m}|a_i-b_i|^2}+\sqrt{\sum_{i=1}^{m}|b_i-c_i|^2}.\]
两边平方得
\[\sum_{i=1}^{m}|a_i-c_i|^2\leqslant\sum_{i=1}^{m}|a_i-b_i|^2+\sum_{i=1}^{m}|b_i-c_i|^2+2\sqrt{\sum_{i=1}^{m}|a_i-b_i|^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{m}|b_i-c_i|^2}.\]
注意到左边每一项
\[|a_i-c_i|\leqslant |a_i-b_i|+|b_i-c_i|,\]
平方得
\[|a_i-c_i|^2\leqslant |a_i-b_i|^2+|b_i-c_i|^2+2|a_i-b_i|\cdot |b_i-c_i|.\]
故只要证明
\[\sum_{i=1}^{m}|a_i-b_i|\cdot |b_i-c_i|\leqslant\sqrt{\sum_{i=1}^{m}|a_i-b_i|^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{m}|b_i-c_i|^2},\]
而这由 Cauchy-Schwarz 不等式
\[\biggl(\sum_{i=1}^{n}a_i b_i\biggr)^2\leqslant\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\Bigr)\Bigl(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\Bigr)\]
即知成立. 从而我们定义了 $D$ 上的度量 $\rho$ (实际上, 这就是有限个度量空间作乘积后的乘积度量, 简称为积度量), 由此度量诱导出拓扑 $\tau$.
下面证明 $\langle D,\rho\rangle$ 可局部欧氏化.
实际上, $\langle D,\tau\rangle$ 同胚于 $\langle S^2\times S^1,\tau\'\rangle$, 其中 $\tau\'$ 指 $S^2\times S^1$ 上的乘积拓扑. 写成
\[\langle D,\tau\rangle\cong\langle S^1\times S^2,\tau\'\rangle\]
可能更好. 任取 $D$ 中两个点 $(x,y)$, $(z,w)$, 则若 $x\neq z$, $x,z$ 位于由 $x,z$ 所确定的大圆 $S^1$ 中. 而 $y,w$ 则在单位球面 $S^2$ 中. 根据 $D$ 上度量的定义, $\langle D,\tau\rangle$ 同胚于 $\langle S^1\times S^2,\tau\'\rangle$, 其中 $\tau\'$ 指 $S^2\times S^1$ 上的乘积拓扑.
而 $S^1\times S^2$ 是一个三维流形.