定理: 流形 $M$ 是第二可数的当且仅当它具有由可数个局部坐标域构成的覆盖.
分析: 为什么要约定流形满足第二可数公理.
Answer
问题及解答
1
必要性可由 Lindelöf 定理 推出, 即 $C_{II}\Rightarrow\text{Lindelöf}$ 性质.
这里 $C_{II}$ 即第二可数公理, Lindelöf 性质指拓扑空间 $X$ 的任一开覆盖均有可数子覆盖, 也称 $X$ 是 Lindelöf 的或 Lindelöf 空间.
充分性.
假设流形 $M$ 具有开覆盖 $\{U_i\}_{i=1}^{+\infty}$, 即 $M$ 可表示为可数个开集的并.
\[M=\bigcup_{i=1}^{+\infty}U_i,\]
其中每个 $U_i$ 是局部坐标域, 即同胚于欧氏空间中的开集 $\varphi_i(U_i)$, 因而是第二可数的. 而我们有结论:
可数个第二可数空间的并仍是第二可数的(见问题744). 因此 $M$ 是第二可数的.