(4) $G(r,n)$ 上的拓扑可以通过定义其中任两点之间的范数(距离)来得到. 设 $p$ 和 $q$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的两个不同的 $r$-维线性子空间. 它们有相应的标准正交基 $e_1,e_2,\ldots,e_r$ 和 $f_1,f_2,\ldots,f_r$. 定义
\[\text{dist}(p,q)=\|p-q\|=\inf_{\{e_i\},\{f_j\}}\sqrt{|e_1-f_1|^2+|e_2-f_2|^2+\cdots+|e_r-f_r|^2}.\]
其中 $\inf$ 是指取遍所有标准正交基后所得的下确界. 容易验证 $\text{dist}$ 是一个度量.
事实上, 任取三个 $r$-维子空间 $p,q,z$, 任取各自的标准正交基 $\{e_i\}$, $\{f_i\}$, $\{g_i\}$, 于是由向量之间的三角不等式
\[|e_i-g_i|\leqslant |e_i-f_i|+|f_i-g_i|\]
可推出
\[\sqrt{\sum_{i=1}^r |e_i-g_i|^2}\leqslant\sqrt{\sum_{i=1}^r |e_i-f_i|^2}+\sqrt{\sum_{i=1}^r |f_i-g_i|^2}\]
这里要用到 Cauchy-Schwarz 不等式
\[\biggl(\sum_{i=1}^{n}a_i b_i\biggr)^2\leqslant\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\Bigr)\Bigl(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\Bigr).\]
(具体证明过程可参见问题753的答案.)
然后右边取遍 $\{f_j\}$, 再两端取遍所有标准正交基 $\{e_i\}$, $\{g_i\}$, 就证明了 $\text{dist}$ 确实满足三角不等式. 于是由这个度量给出了 $G(n,r)$ 的一个拓扑, 易见是 Hausdorff 空间.
下面证明 $G(r,n)$ 可以局部欧氏化, 从而确实是一个流形, 并且其维数为 $r(n-r)$.
$G(r,n)$ 中任意一点即 $\mathbb{R}^n$ 中某个 $r$ 维子空间可由其在 $\mathbb{R}^n$ 中的 $r$ 个线性无关的向量来生成.
首先定义 $\mathbb{R}^n$ 中 $r$-frames 的集合.
\[F(r,n):=\{(v_1,v_2,\ldots,v_r)\in(\mathbb{R}^n)^r\mid v_1,v_2,\ldots,v_r \text{线性独立}\}\]
因此, $F(r,n)$ 中的元素 $(v_1,v_2,\ldots,v_r)$ 可以等同于一个秩为 $r$ 的 $r\times n$ 矩阵,
\[
\begin{pmatrix}
v_1^1 & v_1^2 & \ldots & v_1^n\\
v_2^1 & v_2^2 & \ldots & v_2^n\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
v_r^1 & v_r^2 & \ldots & v_r^n\\
\end{pmatrix}
\]
其中
\[
\begin{matrix}
v_1&=&(v_1^1,\ldots,v_1^n)\\
v_2&=&(v_2^1,\ldots,v_2^n)\\
\vdots& &\vdots\\
v_r&=&(v_r^1,\ldots,v_r^n)\\
\end{matrix}
\]
因此 $F(r,n)$ 是 $\mathcal{M}_{rn}(R)$ 中的一个开子集 (参见问题755), 而 $\mathcal{M}_{rn}(R)$ 是一个光滑流形, 故 $F(r,n)$ 也是一光滑流形.
$F(r,n)$ 中的一个 frame 或对应的一个秩为 $r$ 的矩阵 $X_{rn}$ 确定了一个 $r$ 维子空间, 即 $G(r,n)$ 中的一个点. 这个子空间由 $X_{rn}$ 的 $r$ 个行向量 $(x_1,x_2,\ldots,x_r)^T$ 张成. 当然此子空间可以由另一组线性无关的 $r$ 个行向量张成, 如名为 $Y_{rn}$ 的 $r$ 个行向量 $(y_1,y_2,\ldots,y_r)^T$. 由于它们张成同一个子空间, 因此存在非退化线性变换 $\mathbf{A}$, 对应矩阵 $A_{rn}=(a_{ij})$, 使得
\[Y_{rn}=A_{rr}X_{rn}\]
因此, 很自然地, 在 $F(r,n)$ 中定义关系 $\sim$:
\[Y_{rn}\sim X_{rn}\Leftrightarrow\ \exists\ A_{rr}\in GL(r,\mathbb{R}),\ \text{s.t.}\ Y_{rn}=A_{rr}X_{rn}.\]
显然 $\sim$ 是一个等价关系. $F(r,n)$ 模去此等价关系得到的商空间即为 $G(r,n)$. 即 $G(r,n)=F(r,n)/\sim$. $G(r,n)$ 的拓扑是商空间拓扑. 记 $\pi:\ F(r,n)\rightarrow G(r,n)$ 为自然映射.
Claim1: $\pi:\ F(r,n)\rightarrow G(r,n)$ 是开映射.
Pf. 任取 $A\in GL(r,\mathbb{R})$, 定义
\[
\begin{aligned}
\varphi_A:\ F(r,n)&\rightarrow F(r,n)\\
B&\mapsto AB
\end{aligned}
\]
显然 $\varphi_A$ 是同胚, $\varphi_A^{-1}=\varphi_{A^{-1}}$. 任取开集 $U\subset F(r,n)$, 则 $[U]=\bigcup_{A\in GL(r,n)}\varphi_A(U)$. 由于 $\varphi_A(U)$ 是开集, 故 $[U]$ 也是 $F(r,n)$ 中的开集. 因此由问题763中的引理知, $\pi$ 是开映射. Q.E.D of Claim1.
Claim2: $G(r,n)$ 是 Hausdorff 空间.
Pf. 定义映射 $f: F(r,n)\times F(r,n)\rightarrow\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ 如下,
设 $A,B\in F(r,n)$, 令 $C=\binom{A}{B}$, 即 $C$ 是 $2r\times n$ 矩阵, 形如
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \vdots & \vdots\\
a_{r1} & \cdots & a_{rn}\\
b_{11} & \cdots & b_{1n}\\
\vdots & \vdots & \vdots\\
b_{r1} & \cdots & b_{rn}\\
\end{pmatrix}
\]
映射 $f$ 实际上是一系列函数所组成的映射. 每个分量 $f_j$ 是将 $C$ 中特定位置的 $(k+1)\times(k+1)$ 阶子矩阵求行列式. 于是, $f(A,B)=0$ 当且仅当 $\text{rank}(C)\leqslant r$, 又 $\text{rank}(C)\geqslant\text{rank}(A)=r$. 因此 $\text{rank}(C)=r$, 这说明 $C$ 中第 $r+1$ 到第 $2r$ 个行向量可由前 $r$ 个行向量线性表示. 等价于存在可逆矩阵 $D\in GL(r,\mathbb{R})$, 使得 $A=DB$. 即 $A\sim B$.
于是
\[R=\{(A,B)\in F(r,n)\times F(r,n)\mid A\sim B\}=f^{-1}(0),\]
故 $R$ 是 $F(r,n)\times F(r,n)$ 中的闭集. 根据问题765, $G(r,n)=F(r,n)/\sim$ 是 Hausdorff 空间. Q.E.D. of Claim2.
局部欧氏化的证明
剩下要证明 $G(r,n)$ 可以局部欧氏化. 即找到一个 $C^\infty$ 图汇, 然后应用问题766中的定理完成证明.
回忆上面 Claim1 中的映射 $\pi:F(r,n)\rightarrow G(r,n)$. $F(r,n)$ 中的元素等同于一个 $r\times n$ 实矩阵. 任取 $X,Y\in F(r,n)$,
\[X\sim Y\Leftrightarrow\ \exists\ A\in GL(r,\mathbb{R}),\ \text{s.t.}\ Y=AX.\]
由于 $\text{rank}(X)=r$, 存在 $r\times r$ 的子矩阵, 它们是 $X$ 中第 $j_1 < j_2 < \ldots < j_r$ 列组成的方阵, 记作 $X_J$, 是非奇异的. (这里我们约定记号 $J=(j_1,j_2,\ldots,j_r)$. $J\'$ 是 $J$ 在 $(1,2,3,\ldots,n)$ 中的补序列, 排序依旧是从小到大.)
通过对矩阵 $X$ 左乘以 $X_J^{-1}$, 得到 $X_0=X_J^{-1}X$. $X_0$ 的第 $j_1,j_2,\ldots,j_r$ 列构成单位矩阵. 从而 $X_0$ 可作为 $X$ 在 $[X]$ 中的代表元.
为了构造图卡, 对于 $X_J$ 非奇异的点 $X\in F(r,n)$, 存在一个开邻域 $\widetilde{U}_J\subset F(r,n)$, 其中的任意点 $Y\in\widetilde{U}_J$ 都满足 $Y_J$ 是非奇异的. 因此 $Y_J^{-1}Y$ 可作为 $\pi(Y)=[Y]$ 的代表元. 因此可定义映射
\[
\begin{array}{rcl}
\varphi_J:\ U_J&\rightarrow&\mathcal{M}_{r(n-r)}(\mathbb{R})\cong\mathbb{R}^{r(n-r)}\\
[Y]&\mapsto&(Y_J^{-1}Y)_{J\'}
\end{array}
\]
Claim3. $\varphi_J$ 是定义合理的, 并且是一个同胚映射.
Pf. 上面定义 $\varphi_J([Y])=(Y_J^{-1}Y)_{J\'}$, 即将等价类 $[Y]$ 映射为该等价类中的代表元 $Y_0$ 的第 $j_{r+1},j_{r+2},\ldots,j_n$ 列构成的子矩阵.
若 $Y,Y\'\in [Y]$, 则存在可逆矩阵 $B$, 使得 $Y\'=BY$, 从而
\[(Y\'_J^{-1})Y\'=(BY_J)^{-1}BY=Y_J^{-1}Y\]
这说明 $\varphi_J$ 的定义是合理的.
(a) $\varphi_J$ 显然是单射. 设 $[Y],[Z]\in U_J$. 若 $(Y_J^{-1}Y)_{J\'}=(Z_J^{-1}Z)_{J\'}$, 则 $Y_J^{-1}Y=Z_J^{-1}Z$, 这说明 $Y$ 和 $Z$ 在等价类中的代表元是相等的, 当然有 $[Y]=[Z]$.
(b) $\varphi_J$ 是满射. 任取矩阵 $C\in\mathcal{M}_{rn}(\mathbb{R})$, 使得 $C_J$ 为单位矩阵. 相当于任取 $\mathbb{R}^{r(n-r)}$ 中的一个矩阵, 我们不妨记为 $C_{J\'}$. 要证明存在 $Y\in\mathcal{M}_{rn}(\mathbb{R})$, 且 $Y_J$ 可逆, 使得 $Y_J^{-1}Y=C$. 这个 $Y$ 当然是存在的. 我们任取可逆矩阵 $B\in GL(r,\mathbb{R})$, 令 $Z=BC$ 即满足. 而且 $Y=(Y_J B^{-1})Z$, 从而 $[Y]=[Z]$, 即 $\varphi^{-1}(C_{J\'})=[Y]=[Z]$.
(c) 根据 $\varphi_J$ 的定义, 相当于对一个 $r\times n$ 的矩阵划去第 $j_1,j_2,\ldots,j_r$ 列. 所以 $\varphi_J$ 当然是连续的, 并且 $\varphi^{-1}$ 也连续. 故 $\varphi_J$ 是一个同胚. 事实上是 $\varphi_J$ 是光滑同胚.
Q.E.D of Claim3.
Claim4. 任取两个上面的图卡 $(U_I,\varphi_I)$, $(U_J,\varphi_J)$, 若 $U_I\cap U_J\neq\emptyset$, 则 $\varphi_J\circ\varphi_I^{-1}$ 与 $\varphi_I\circ\varphi_J^{-1}$ 都是 $C^\infty$ 的.
Pf. 我们只就 $\varphi_J\circ\varphi_I^{-1}$ 来说明.
\[
\begin{array}{rcl}
\varphi_J\circ\varphi_I^{-1}:\ \varphi_{I}(U_I\cap U_J)&\rightarrow&\varphi_{J}(U_I\cap U_J)\\
(Y_I^{-1} Y)_{I\'}&\mapsto&(Y_J^{-1} Y)_{J\'}
\end{array}
\]
$(Y_I^{-1} Y)_{I\'}\mapsto Y_I^{-1} Y$ 以及 $Y_J^{-1} Y\mapsto (Y_J^{-1} Y)_{J\'}$ 都是 $C^\infty$ 的. 这是 Claim3 (c) 中论述的.
而 $Y_J^{-1} Y=Y_J^{-1}\cdot Y_I\cdot(Y_I^{-1} Y)$ 这个映射当然是 $C^\infty$ 的. 因此 $\varphi_J\circ\varphi_I^{-1}$ 是 $C^\infty$ 映射.
因此, $\{(U_J,\varphi_J)\}$ 是 $G(r,n)$ 上的一个 $C^\infty$-图汇.
Q.E.D of Claim4.
从而 $G(r,n)$ 是一个光滑流形. 维数为 $r(n-r)$.
References:
William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, second edition. P.63
