问题

引理. $X$ 上的等价关系 $\sim$ 是开的当且仅当自然投射 $\pi:X\rightarrow X/\sim$ 是开映射. 若 $\sim$ 是 $X$ 上的开等价关系, 且 $X$ 具有可数拓扑基时, $X/\sim$ 也有可数基.

开等价关系的定义参见问题762.

这个引理在判定一个流形在某个等价关系下的商空间是否仍是一个流形时非常有用. 因为流形的必要条件是 Hausdorff 空间, 且往往要求第二可数.

而判定商空间是否是 Hausdorff 空间, 往往只能根据 Hausdorff 分离性去直接证明, 或者加额外的条件(见问题). 因为一般来讲, 商空间可能不再是 Hausdorff 空间.

关于商空间不再是 Hausdorff 空间的例子, 见问题764.