(充分性 "$\Leftarrow$")
设 $A$ 是 $X$ 中的开集. 由于 $[A]=\cup_{a\in A}[a]=\{x\in X\mid\exists\ a\in A,\ \text{s.t.}\ x\sim a\}$, 故 $[A]=\pi^{-1}(\pi(A))$. 由于 $\pi$ 是开映射, 故 $\pi(A)$ 是商空间 $X/\sim$ 中的开集, 根据商拓扑的定义, $\pi^{-1}(\pi(A))$ 是 $X$ 的开集. 即 $[A]$ 是开集. 故 $\sim$ 是开的等价关系.
(必要性 "$\Rightarrow$")
任取开集 $A$, $\sim$ 是开等价关系, 故 $[A]$ 是 $X$ 的开集, 这推出 $\pi(A)$ 是 $X/\sim$ 中的开集. 因此 $\pi$ 是开映射.
现在假设 $\sim$ 是 $X$ 上的开等价关系, 且 $X$ 具有可数开拓扑基 $\{U_{i}\}_{i\in I}$.
设 $W$ 是 $X/\sim$ 的一个开集, 则 $W$ 的原像 $\pi^{-1}(W)$ 由于是 $X$ 的开集, 从而被上述拓扑基中的一些成员所表示:
\[\pi^{-1}(W)=\bigcup_{j\in J}U_j.\]
从而
\[W=\pi(\pi^{-1}(W))=\bigcup_{j\in J}\pi(U_j).\]
这推出, $\{\pi(U_i)\}_{i\in I}$ 是 $X/\sim$ 的一个拓扑基, 当然也是可数的.
事实上, 拓扑空间的第一、第二可数性可被连续的开映射所保持.(参见问题748)
References:
William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, second edition. P.60--61.