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拓扑 >> 点集拓扑
Questions in category: 点集拓扑 (General Topology).

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1

设 $\{F_j\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的有界闭子集. $G$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的开集.

Posted by haifeng on 2017-04-23 14:08:42 last update 2017-04-23 14:08:42 | Answers (1) | 收藏

设 $\{F_j\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的有界闭子集. $G$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的开集.

如果 $\cap_{j=1}^{\infty}F_j\subset G$, 则存在有限个 $F_j$, 如 $F_{j_1}, \ldots, F_{j_k}$, 使得

\[
\cap_{j=1}^{\infty}F_j\subset F_{j_1}\cap F_{j_2}\cap\cdots\cap F_{j_k}\subset G.
\]

2

[Def]拓扑基

Posted by haifeng on 2016-10-07 10:40:26 last update 2016-10-07 10:40:26 | Answers (0) | 收藏

Def (拓扑基) 拓扑空间 $(X,\tau)$ 的子集簇 $\beta\subset\tau$ 如果满足:

$\forall G\in\tau$ 及 $x\in G$, 存在 $B\in\beta$, 使得 $x\in B\subset G$,

则称 $\beta$ 是拓扑 $\tau$ 的一个基.

 

3

局部闭子集(locally closed subset)

Posted by haifeng on 2016-08-21 08:39:28 last update 2016-08-21 08:39:28 | Answers (0) | 收藏

局部闭子集(locally closed subset)

根据 Bourbaki[1], 拓扑空间 $(X,\tau)$ 的一个子集 $S$ 被称为局部闭的, 如果它是一个开集和一个闭集的交.

 

 

[2]: According to Bourbaki [1] a subset S of a space $(X,\tau)$ is called locally closed if it is the intersection of an open set and a closed set.

 


References:

[1] N. Bourbaki, General Topology Part 1, Addison Wesley, Reading, Mass. 1966.

[2] http://www.math.tugraz.at/~ganster/papers/33.pdf

4

设 $f$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的递增函数. 令 $G=\{x\in\mathbb{R}\mid \forall\varepsilon > 0, f(x+\varepsilon) > f(x-\varepsilon)\}$. 证明 $G$ 是 $\mathbb{R}$ 中的闭集.

Posted by haifeng on 2016-03-30 20:58:03 last update 2016-03-30 21:08:29 | Answers (1) | 收藏

设 $f$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的递增函数. 令

\[
G=\{x\in\mathbb{R}\mid \forall\varepsilon > 0, f(x+\varepsilon) > f(x-\varepsilon)\}
\]

证明 $G$ 是 $\mathbb{R}$ 中的闭集.

5

证明 $\mathbb{E}^n(n\geqslant 2)$ 无割点.

Posted by haifeng on 2015-07-19 08:10:23 last update 2015-07-19 09:32:02 | Answers (1) | 收藏

设 $A$ 为 $\mathbb{E}^n$ 的可数子集, 证明 $\mathbb{E}^n-A$ 是 $\mathbb{E}^n$ 的连通子集(此处 $n\geqslant 2$).

 


类似的,

设 $A$ 为 $S^n(n\geqslant 2)$ 的可数子集, 证明 $S^n-A$ 连通.

6

[Def]拓扑空间的割点

Posted by haifeng on 2015-07-18 20:22:49 last update 2015-07-19 08:03:29 | Answers (0) | 收藏

设 $X$ 是拓扑空间, 称点 $x\in X$ 是 $X$ 的割点, 若 $X-\{x\}$ 不连通.

 

证明: 拓扑空间的割点数是拓扑不变量.

 

割点数常可用来否定拓扑空间的同胚关系.

回忆, 连通分支的基数也是拓扑不变量.

7

证明 $\mathbb{E}^n(n\geqslant 2)$ 与 $\mathbb{E}^1$ 的任何子集都不同胚.

Posted by haifeng on 2015-07-18 20:05:16 last update 2015-07-27 16:44:11 | Answers (1) | 收藏

$\mathbb{E}^n(n\geqslant 2)$ 与 $\mathbb{E}^1$ 的任何子集都不同胚.

$\mathbb{E}^n(n\geqslant 2)$ 与 $S^1$ 的任何子集也不同胚.


更一般的, $\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{R}^m$ 同胚仅当 $n=m$. (参见问题1602)

类似的, 当 $n\neq m$ 时, $S^n$ 与 $S^m$ 也不同胚.

注意: 这需要代数拓扑的知识.

8

[Thm]任意两个可数的度量空间, 如果没有孤立点的话, 则一定是同胚的.

Posted by haifeng on 2015-04-24 11:09:21 last update 2015-04-24 11:15:32 | Answers (0) | 收藏


定理[Serpinski]. 任意两个可数的度量空间, 如果没有孤立点的话, 则一定是同胚的.

 

 

References:

http://math.stackexchange.com/questions/72143/is-there-a-countable-regular-space-with-no-isolated-points-which-is-not-homeomo

9

设 $X$ 是 $\aleph_1$ 个 $\mathbb{Z}$ 的笛卡尔积, 问 $X$ 的基数是多少

Posted by haifeng on 2015-02-01 22:48:25 last update 2016-01-05 23:11:19 | Answers (1) | 收藏

设 $X$ 是 $\aleph_1$ 个 $\mathbb{Z}$ 的笛卡尔积, 问 $X$ 的基数是多少


[Hint]

即求 $\aleph_0^c$, 这里 $c=\aleph_1$.

\[
\aleph_2=2^c\leqslant\aleph_0^c\leqslant c^c=\text{card}\{f:I\rightarrow I\mid f\ \text{是映射}\}=\aleph_2
\]

或者

\[
c^c=(2^{\aleph_0})^c=2^{\aleph_0\cdot c}=2^c
\]

注意: $\bar{Y}^{\bar{X}}=\#\{f:X\rightarrow Y\}$.



Question:

$C[-1,1]$ 的势是多少? 即包含多少连续函数?

Hint, 设 $f\in C[-1,1]$, 若取 $f$ 为常值函数, 则 $\# C[-1,1]\geqslant c$.

10

Hausdorff 极大原理/Zorn 引理/选择公理/良序原理

Posted by haifeng on 2012-12-15 14:08:15 last update 2015-07-17 23:40:42 | Answers (0) | 收藏

http://www.proofwiki.org/wiki/Hausdorff_Maximal_Principle

http://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_maximal_principle

http://ncatlab.org/nlab/show/Hausdorff+maximal+principle

陆文钊, 陈肇姜 编著《点集拓扑学》附录I, 南京大学出版社, 1995.

陈肇姜 编著《点集拓扑学--题解与反例》 南京大学出版社, 1997.

 

选择公理

笛卡尔积 $\prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}$ 中的点 $x=\langle x_{\lambda}\rangle_{\lambda\in\Lambda}$ 是一个映射 $x: \Lambda\rightarrow\cup_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}$ 使 $\forall\ \lambda\in\Lambda$, $x(\lambda)\in X_{\lambda}$.

形象地看 $x$ 的作用就是同时在每个 $X_{\lambda}$ 中选出一点 $x_{\lambda}$ 来, 所以可称 $x$ 为选择函数.

 

当存在 $\lambda\in\Lambda$ 使 $X_{\lambda}=\emptyset$ 时, 在 $X_{\lambda}$ 中选不到点, 自然也就不存在所谓的选择函数. 从而 $\prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}=\emptyset$.

反过来, 当 $\forall\ \lambda\in\Lambda$, $X_{\lambda}\neq\emptyset$ 时, 一定存在选择函数. 看来似乎也很合理, 却无法作出证明. 更使人惊奇的是, 对于这种选择函数存在性的假定引出了许多意想不到的等价命题, 在历史上引起许多争论.

Zermelo 第一个明确地叙述了这个假设并称之为选择公理, 后来有人证明了只要集合论的公理系统自身没有矛盾, 那就不会因为引进选择公理而产生矛盾.

 

[选择公理] 对于任一由非空集合组成的非空族 $\mathcal{A}$, 总存在映射 $c:\ \mathcal{A}\rightarrow\cup\mathcal{A}$ 使 $\forall\ A\in\mathcal{A}$, $c(A)\in A$. 称 $c$ 为选择函数.

 

 

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