(1) 一般的, 在度量空间中, 紧致子集一定是有界闭集, 反之不一定(反例见问题779).

(2) 在紧度量空间或者欧氏空间 $\mathbb{E}^n$ 中, 子集是紧致的当且仅当是有界闭集.

设 $f:X\rightarrow Y$ 是紧集 $X$ 到 Hausdorff 空间 $Y$ 上的一个连续映射, 并且是双射. 证明 $f^{-1}$ 也连续.

设 $\langle X,\tau\rangle$ 是 Hausdorff 拓扑空间, $A$ 是 $X$ 中的紧集, 证明 $A$ 是闭集.

[Lem] 设 $\sim$ 是拓扑空间 $X$ 上的开等价关系. 则 $R=\{(x,y)\in X\times X\mid x\sim y\}$ 是 $X\times X$ 的闭子集当且仅当商空间 $X/\sim$ 是 Hausdorff 的.

(1) 令 $X=\mathbb{R}\times\{\pm 1\}$, 且具有乘积拓扑和 $C^\infty$ 结构. 从而是一个光滑流形. 在 $X$ 上定义关系

\[(x,i)\sim(y,j)\Leftrightarrow\ \text{或者}\ x=y < 0, \text{或者}\ x=y\ \text{且}\ i=j.\]

证明: $X/\sim$ 可以局部欧氏化, 且是第二可数的, 但不是 Hausdorff 空间.

另一个例子见问题752

引理. $X$ 上的等价关系 $\sim$ 是开的当且仅当自然投射 $\pi:X\rightarrow X/\sim$ 是开映射. 若 $\sim$ 是 $X$ 上的开等价关系, 且 $X$ 具有可数拓扑基时, $X/\sim$ 也有可数基.

开等价关系的定义参见问题762.

这个引理在判定一个流形在某个等价关系下的商空间是否仍是一个流形时非常有用. 因为流形的必要条件是 Hausdorff 空间, 且往往要求第二可数.

而判定商空间是否是 Hausdorff 空间, 往往只能根据 Hausdorff 分离性去直接证明, 或者加额外的条件(见问题). 因为一般来讲, 商空间可能不再是 Hausdorff 空间.

关于商空间不再是 Hausdorff 空间的例子, 见问题764.

拓扑空间 $X$ 上的等价关系 $\sim$ 称为是开的, 如果 $X$ 中的任意开子集 $A$ 在等价关系下的集合

\[[A]:=\bigcup_{a\in A}[a]=\{x\in X\mid \exists\ a\in A,\ \text{s.t.}\ x\sim a\}\]

在 $X$ 中也是开的, 则称等价关系 $\sim$ 是 $X$ 上的开等价关系.

事实上,  $\sim$ 是开等价关系当且仅当自然投射 $\pi: X\rightarrow X/\sim$ 是开映射.(参见问题763)

注:

\[[x]:=\{y\in X\mid y\sim x\}\]

一般不这样表示 $[A]$:

\[[A]:=\{[x]\mid x\in A\}\]

例如:

$X=\mathbb{E}^1$, 定义关系 $r$ 为

\[r=(\mathbb{Q}\times\mathbb{Q})\cup\bigl((\mathbb{R}-\mathbb{Q})\times(\mathbb{R}-\mathbb{Q})\bigr).\]

即 $xry$ 或者 $(x,y)\in r$ 当且仅当 $x,y$ 同为有理数或者同为无理数. 则 $X/r$ 只含有两个点(有理数等价类与无理数等价类).

$X$ 是 Hausdorff 的, 但是 $X/r$ 不是 Hausdorff 的.

另一例子见问题764.

References:

陆文钊、陈肇姜 编著 《点集拓扑学》 P.154

设 $\pi:\ X\rightarrow X/\sim$ 是拓扑空间 $X$ 到商空间 $X/\sim$ 的自然映射. $Y$ 是另一个拓扑空间. 则

$f:\ X/\sim\rightarrow Y$ 连续当且仅当 $f\circ\pi:\ X\rightarrow Y$ 连续.

提示: 利用商拓扑的定义即可.

拓扑空间能被同胚映射保持的性质被称为拓扑性质.

如

1. 可分性
2. Lindelöf 性质
3. 第一、第二可数性
4. Bolzano-Weierstrass 性质

都是拓扑性质.