紧度量空间或者欧氏空间 $\mathbb{E}^n$ 中, 子集是紧致的当且仅当它是有界闭集.
(1) 一般的, 在度量空间中, 紧致子集一定是有界闭集, 反之不一定(反例见问题779).
(2) 在紧度量空间或者欧氏空间 $\mathbb{E}^n$ 中, 子集是紧致的当且仅当是有界闭集.
(1) 一般的, 在度量空间中, 紧致子集一定是有界闭集, 反之不一定(反例见问题779).
(2) 在紧度量空间或者欧氏空间 $\mathbb{E}^n$ 中, 子集是紧致的当且仅当是有界闭集.
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(2) 仅就欧氏空间 $\mathbb{E}^n$ 证明. 并且根据 (1), 只要证明充分性.
在 $\mathbb{E}^n$ 中, 若 $A$ 是有界闭集, 则存在 $a_i,b_i\in\mathbb{R}$, $a_i < b_i$, $(i=1,2,\ldots,n)$. 使得
\[A\subset\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i].\]
由于每个 $[a_i,b_i]$ 是紧致的, 故 $\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]$ 也紧致.
这里要用到两个结论,
(a) 积空间 $X\times Y$ 紧致当且仅当 $X$, $Y$ 都紧致. (问题783)
(b) 积空间 $X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$ 与 $(X_1\times\cdots\times X_{n-1})\times X_n$) 同胚. (问题784)
因此, $A$ 作为此紧致集的闭集, 当然也紧致.