设 $X$ 是 $\aleph_1$ 个 $\mathbb{Z}$ 的笛卡尔积, 问 $X$ 的基数是多少

[Hint]

即求 $\aleph_0^c$, 这里 $c=\aleph_1$.

\[
\aleph_2=2^c\leqslant\aleph_0^c\leqslant c^c=\text{card}\{f:I\rightarrow I\mid f\ \text{是映射}\}=\aleph_2
\]

或者

\[
c^c=(2^{\aleph_0})^c=2^{\aleph_0\cdot c}=2^c
\]

注意: $\bar{Y}^{\bar{X}}=\#\{f:X\rightarrow Y\}$.

Question:

$C[-1,1]$ 的势是多少? 即包含多少连续函数?

Hint, 设 $f\in C[-1,1]$, 若取 $f$ 为常值函数, 则 $\# C[-1,1]\geqslant c$.

http://www.proofwiki.org/wiki/Hausdorff_Maximal_Principle

http://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_maximal_principle

http://ncatlab.org/nlab/show/Hausdorff+maximal+principle

陆文钊, 陈肇姜 编著《点集拓扑学》附录I, 南京大学出版社, 1995.

陈肇姜 编著《点集拓扑学--题解与反例》 南京大学出版社, 1997.

选择公理

笛卡尔积 $\prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}$ 中的点 $x=\langle x_{\lambda}\rangle_{\lambda\in\Lambda}$ 是一个映射 $x: \Lambda\rightarrow\cup_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}$ 使 $\forall\ \lambda\in\Lambda$, $x(\lambda)\in X_{\lambda}$.

形象地看 $x$ 的作用就是同时在每个 $X_{\lambda}$ 中选出一点 $x_{\lambda}$ 来, 所以可称 $x$ 为选择函数.

当存在 $\lambda\in\Lambda$ 使 $X_{\lambda}=\emptyset$ 时, 在 $X_{\lambda}$ 中选不到点, 自然也就不存在所谓的选择函数. 从而 $\prod_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}=\emptyset$.

反过来, 当 $\forall\ \lambda\in\Lambda$, $X_{\lambda}\neq\emptyset$ 时, 一定存在选择函数. 看来似乎也很合理, 却无法作出证明. 更使人惊奇的是, 对于这种选择函数存在性的假定引出了许多意想不到的等价命题, 在历史上引起许多争论.

Zermelo 第一个明确地叙述了这个假设并称之为选择公理, 后来有人证明了只要集合论的公理系统自身没有矛盾, 那就不会因为引进选择公理而产生矛盾.

[选择公理] 对于任一由非空集合组成的非空族 $\mathcal{A}$, 总存在映射 $c:\ \mathcal{A}\rightarrow\cup\mathcal{A}$ 使 $\forall\ A\in\mathcal{A}$, $c(A)\in A$. 称 $c$ 为选择函数.

设拓扑空间 $X=X_1\cup X_2$, 且 $X_1$ 和 $X_2$ 均是 $X$ 的闭子空间, $X_1\cap X_2\neq\emptyset$. $Y$ 是另一个拓扑空间. 假设有连续映射 $f_i:\ X_i\rightarrow Y$, $i=1,2$. 并且它们限制在 $X_1\cap X_2$ 是等同的. 从而可以定义映射

\[
f(x)=\begin{cases}f_1(x),& x\in X_1\\ f_2(x),& x\in X_2.\end{cases}
\]

证明: $f:X\rightarrow Y$ 是连续映射.

连通但非道路连通的一个著名例子是拓扑正弦曲线.

令 $A=\{0\}\times [-1,1]$,

\[B=\{(x,y)\in\mathbb{E}^2\mid y=\sin\frac{1}{x},\quad 0 < x\leqslant 1\}\]

$X=A\cup B$. $X$ 作为 $E^2$ 的子空间, 叫做闭拓扑正弦曲线. 证明 $X$ 连通但非道路连通.

References:

陈肇姜 编著 《点集拓扑学题解与反例》P.77 题 2.2.5.

积空间 $X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$ 与 $(X_1\times\cdots\times X_{n-1})\times X_n$ 同胚.

References:

陆文钊、陈肇姜 编著 《点集拓扑学》P.73 习题 $\Delta$ 2.7.3

积空间 $X\times Y$ 紧致当且仅当 $X$, $Y$ 都紧致.

References:

陆文钊、陈肇姜 编著 《点集拓扑学》P.118 习题 $\Delta$ 5.3.7.

度量空间 $\langle X,\rho\rangle$ 的任一全有界子集 $A$ 总是有界的.

References:

陆文钊、陈肇姜 编著 《点集拓扑学》P.124 定理 5.5.3.

设 $\langle X,\rho\rangle$ 是度量空间, 则

\[X\ \text{具有}\ \text{Bolzano-Weierstrass}\ \text{性质}\Leftrightarrow X\ \text{可数紧}\Leftrightarrow X\ \text{序列紧}\Leftrightarrow X\ \text{紧致}\]

References:

陆文钊、陈肇姜 编著 《点集拓扑学》P.126 定理 5.5.6.

具有 Bolzano-Weierstrass 性质的度量空间是全有界的, 从而也是第二可数的、可分的、Lindelöf 的.

例如: $\mathbb{R}$ 上取离散拓扑 $\tau$,

\[d(x,y)=
\begin{cases}
1, & x\neq y,\\
0, & x=y.
\end{cases}
\]

则 $[0,1]$ 是 $(\mathbb{R},\tau)$ 中的有界闭集, 但不紧致.