设拓扑空间 $X=X_1\cup X_2$, 且 $X_1$ 和 $X_2$ 均是 $X$ 的闭子空间, $X_1\cap X_2\neq\emptyset$. $Y$ 是另一个拓扑空间. 假设有连续映射 $f_i:\ X_i\rightarrow Y$, $i=1,2$. 并且它们限制在 $X_1\cap X_2$ 是等同的. 从而可以定义映射
\[
f(x)=\begin{cases}f_1(x),& x\in X_1\\ f_2(x),& x\in X_2.\end{cases}
\]
证明: $f:X\rightarrow Y$ 是连续映射.
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任取闭集 $V\subset Y$, 我们证明 $f^{-1}(V)$ 是 $X$ 中的闭集.
\[
\begin{split}
f^{-1}(V)&=f^{-1}(V)\cap(X_1\cup X_2)\\
&=(f^{-1}(V)\cap X_1)\cap(f^{-1}(V)\cap X_2)\\
&=(f_1^{-1}(V)\cap X_1)\cap(f_2^{-1}(V)\cap X_2)\\
&=f_1^{-1}(V)\cap f_2^{-1}(V),
\end{split}
\]
由于 $X_1$, $X_2$ 均是 $X$ 的闭集, $f_i:\ X_i\rightarrow Y$ 连续, 故 $f_i^{-1}(V)$ 是 $X_i$ 中的闭集, 从而也是 $X$ 中的闭集, 因此 $f^{-1}(V)$ 闭于 $X$.
References:
廖山涛, 刘旺金 著 《同伦论基础》 北京大学出版社.