举例说明, 度量空间中有界闭集未必紧致.
例如: $\mathbb{R}$ 上取离散拓扑 $\tau$,
\[d(x,y)=
\begin{cases}
1, & x\neq y,\\
0, & x=y.
\end{cases}
\]
则 $[0,1]$ 是 $(\mathbb{R},\tau)$ 中的有界闭集, 但不紧致.
Answer
例如: $\mathbb{R}$ 上取离散拓扑 $\tau$,
\[d(x,y)=
\begin{cases}
1, & x\neq y,\\
0, & x=y.
\end{cases}
\]
则 $[0,1]$ 是 $(\mathbb{R},\tau)$ 中的有界闭集, 但不紧致.