问题及解答

连通但非道路连通的一个著名例子是拓扑正弦曲线.

令 $A=\{0\}\times [-1,1]$,

\[B=\{(x,y)\in\mathbb{E}^2\mid y=\sin\frac{1}{x},\quad 0 < x\leqslant 1\}\]

$X=A\cup B$. $X$ 作为 $E^2$ 的子空间, 叫做闭拓扑正弦曲线. 证明 $X$ 连通但非道路连通.

References:

陈肇姜 编著 《点集拓扑学题解与反例》P.77 题 2.2.5.

$B$ 的道路连通性是显然的. 事实上,

\[
\begin{array}{rcl}
g:(0,1]&\rightarrow &B\\
x&\mapsto&(x,\sin\frac{1}{x})
\end{array}
\]

是连续满射.

由于 $B$ 在 $X$ 中的闭包 $\mathrm{Cl}_X B=X$, 故 $X$ 连通. ($B\subset X=\mathrm{Cl}_X B$.)

下面证明 $X$ 不是道路连通的. 用反证法.

假设 $f:[0,1]\rightarrow X$ 是连接原点 $O$ 与 $B$ 中某一点 $P=(x_0,y_0)$ 的一条道路. 显然 $f^{-1}(\{O\})$ 是 $[0,1]$ 中的闭集. (回忆度量空间中的单点集是闭集. 而 $X$ 作为 $\mathbb{E}^2$ 的子空间, $X$ 上的拓扑是子空间拓扑. 所以 $\{O\}$ 是 $X$ 中的闭集.)

再证 $f^{-1}(\{O\})$ 是 $[0,1]$ 的开集.

考虑 $O$ 的邻域 $V=B_{\mathbb{E}^2}(O,\frac{1}{2})\cap X$. 任取 $t_0\in f^{-1}(\{O\})$, 存在 $U=(t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon)\cap [0,1]$, 使得 $f(U)\subset V$, 且 $f(U)$ 连通.

我们证明 $U\subset f^{-1}(\{O\})$. 若不然, 存在 $t\in U$, 使得 $f(t)\neq O$. 可设 $f(t)=(x_1,y_1)$. 其中 $x_1$ 对某个固定的 $k\in\mathbb{N}$ 有

\[\biggl(\frac{1}{2}\pi+(2k+1)\pi\biggr)^{-1} < x_1 < \biggl(\frac{1}{2}\pi+2k\pi\biggr)^{-1}\]

事实上, 这总可以做到. 因为上式等价于

\[
\begin{split}
&\frac{1}{2}\pi+2k\pi < \frac{1}{x_1} < \frac{1}{2}\pi+(2k+1)\pi\\
\Leftrightarrow & -1 < \sin\frac{1}{x_1} < 1
\end{split}
\]

更精确的, 因为 $V=B_{\mathbb{E}^2}(O,\frac{1}{2})\cap X$, 所以 $f(t)=(x_1(t),y_1(t))\in V$. 所以

\[x_1^2(t)+\sin^2\frac{1}{x_1(t)} < \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2.\]

这推出 $\Bigl|\sin\frac{1}{x_1(t)}\Bigr|<\frac{1}{2}$.

令

\[C=\biggl\{(x,y)\in f(U)\mid x < \biggl(\frac{1}{2}\pi+(2k+1)\pi\biggr)^{-1}\biggr\}\]

\[D=\biggl\{(x,y)\in f(U)\mid x > \biggl(\frac{1}{2}\pi+(2k+1)\pi\biggr)^{-1}\biggr\}\]

于是, $O\in C$, $f(t)\in D$. $\{C,D\}$ 是 $f(U)$ 的一个分解. (注意 $C,D$ 是 $f(U)$ 的开集, 且 $C\cup D=f(U)$. 这是因为 $f(U)$ 中的点的横坐标均大于零, 因此 $x_1\neq\biggl(\frac{1}{2}\pi+(2k+1)\pi\biggr)^{-1}$.) 因此与 $f(U)$ 的连通性矛盾. 故 $U\subset f^{-1}(\{O\})$.

这就证明了 $f^{-1}(\{O\})$ 是 $[0,1]$ 的开集. 故而 $f^{-1}(\{O\})$ 是 $[0,1]$ 的非空的既开又闭的真子集. 与 $[0,1]$ 的连通性矛盾. 因此上述映射 $f$ 不存在. 即 $X$ 不是道路连通的.