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Questions in category: 点集拓扑 (General Topology)
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拓扑 >> 点集拓扑
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41. Urysohn 度量化定理(或Urysohn 嵌入定理)

Posted by haifeng on 2011-06-20 22:44:03 last update 2011-06-20 22:45:17 | Answers (0) | 收藏

  • 每个第二可数的 $T_4$ 空间 $(X,\tau)$ 可度量化.
  • 由于 Lindelof+正则$\Rightarrow$ 正规, 故有直接推论: 每个第二可数的 $T_3$ 空间可度量化.
  • 但是度量空间未必是第二可数的, 因此这只是拓扑空间可度量化的充分条件, 而不是必要条件.
  • 拓扑空间可度量化的充要条件是在二十世纪五十年代初由 Nagata, Smirnov, Bing 各自独立解决的.

42. 对于给定函数 $f(x)=x^3-x$ 构造双射函数

Posted by haifeng on 2011-06-17 10:22:39 last update 2011-06-17 10:22:39 | Answers (0) | 收藏

对于函数 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, $f(x)=x^3-x$. 适当限制其定义域及改变值域得到一个双射函数 $g$, 画出 $g$ 与 $g^{-1}$ 的图形. ($g$ 有好几种可能的选择.)

43. 设 $X$ 是完全正则空间, 证明: $X$ 是连通的当且仅当 $\beta(X)$ 是连通的.

Posted by haifeng on 2011-05-24 14:08:33 last update 0000-00-00 00:00:00 | Answers (0) | 收藏

$\beta(X)$ 指 $X$ 的 Stone-Čech 紧化.

44. 紧开拓扑

Posted by haifeng on 2011-05-09 13:44:15 last update 0000-00-00 00:00:00 | Answers (0) | 收藏

compact-open topology
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