设 $\{F_j\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的有界闭子集. $G$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的开集.
如果 $\cap_{j=1}^{\infty}F_j\subset G$, 则存在有限个 $F_j$, 如 $F_{j_1}, \ldots, F_{j_k}$, 使得
\[
\cap_{j=1}^{\infty}F_j\subset F_{j_1}\cap F_{j_2}\cap\cdots\cap F_{j_k}\subset G.
\]
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不妨假设 $\cap_{j=1}^{\infty}F_j\neq\emptyset$.
任取 $x\in\cap_{j=1}^{\infty}F_j\subset G$, 存在 $x$ 的(有界)开集 $U_x\subset G$. (这是因为 $G$ 是开集.)
于是 $\{U_x\mid x\in\cap_{j=1}^{\infty}F_j\}$ 是 $\cap_{j=1}^{\infty}F_j$ 的一个开覆盖. 注意到 $\cap_{j=1}^{\infty}F_j\subset F_1$ 是有界的, $(\cap_{j=1}^{\infty}F_j)^c=\cup_{j=1}^{\infty}F_j^c$ 是开集, 因此 $\cap_{j=1}^{\infty}F_j\subset F_1$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的有界闭集, 从而是紧致的. 因此 $\cap_{j=1}^{\infty}F_j$ 有有限子覆盖 $\{U_{x_1}, U_{x_2}, \ldots, U_{x_k}\}$. 即
\[\bigcap_{j=1}^{\infty}F_j\subset\bigcup_{h=1}^{k}U_{x_h}=:U,\]
记 $E_1=F_1$, $E_2=F_1\cap F_2$, $\ldots$, $E_m=\bigcap_{j=1}^{m}F_j$, $\ldots$. 则
\[
E_1\supset E_2\supset\cdots\supset E_m\supset\cdots\supset\bigcap_{j=1}^{\infty}F_j
\]
记 $d_i=\mathrm{diam}(E_i)$, 则 $d_1\geqslant d_2\geqslant\cdots d_n\geqslant\cdots$, 又 $\{d_i\}_{i=1}^{\infty}$ 有下界. 因此存在极限 $d$.
即 $d=\mathrm{diam}(\bigcap_{j=1}^{\infty}F_j)$. 现 $\bigcap_{j=1}^{\infty}F_j\subset U$. 记 $d_U=\mathrm{diam}(U)$.
$\bigcap_{j=1}^{\infty}F_j$ 是紧集, 而 $U$ 是有界开集, 故必有 $d < d_U < +\infty$. 因此必存在 $N$, 当 $m > N$ 时, $d_m < d_U$.
也就是, 存在 $k$, 使得
\[
E_k=F_1\cap F_2\cap\cdots\cap F_k\subset U\subset G.
\]
Remark:
这里我们不妨假设 $\cap_{j=1}^{\infty}F_j\neq\emptyset$, 是因为如果 $\cap_{j=1}^{\infty}F_j=\emptyset$, 则对于上面构造的 $E_i$, 必存在 $N$, 当 $m > N$ 时, $E_m=\emptyset$. （否则, 容易推出矛盾.）