问题及解答

设 $A$ 为 $\mathbb{E}^n$ 的可数子集, 证明 $\mathbb{E}^n-A$ 是 $\mathbb{E}^n$ 的连通子集(此处 $n\geqslant 2$).

类似的,

设 $A$ 为 $S^n(n\geqslant 2)$ 的可数子集, 证明 $S^n-A$ 连通.

设 $A=\{a^i\}_{i\in\mathbb{N}}$, 不妨假定 $O\not\in A$. 对任意 $x\in\mathbb{E}^n$, 令 $L_x=\{\lambda x\mid \lambda\geqslant 0\}$. 即射线 $\overrightarrow{Ox}$. 于是 $L_x$ 是 $\mathbb{E}^n$ 的连通子集, 这是因为对每个固定的 $x$ 可令

\[
\varphi_{x}:\ [0,+\infty)\rightarrow\mathbb{E}^n,\quad\lambda\mapsto\lambda x.
\]

则 $\varphi_x$ 连续, 且 $L_x=\varphi_x([0,+\infty))$, 所以 $L_x$ 连通.

令 $A_i$ 为射线 $\overrightarrow{Oa^i}$ 且不含 $O$, $B$ 是 $\mathbb{E}^n$ 中去掉所有这些射线的集合. 即

\[
A_i=L_{a^i}-\{O\},\quad B=\mathbb{E}^n-\cup_{i=1}^{\infty}A_i.
\]

则 $B$ 可表示成 $B=\cup_{x\in B}L_x$. 由于 $O\in\cap_{x\in B}L_x$, 故 $B$ 道路连通, 当然连通.

下证 $B$ 是稠密的, 即 $\bar{B}=\mathbb{E}^n$. 只需证 $\cup_{i=1}^{\infty}A_i\subset\bar{B}$.

任取 $x\in\cup_{i=1}^{\infty}A_i$, 考虑 $C_x=\{y\in\mathbb{E}^n\mid \|y\|=\|x\| \}$, 即过点 $x$ 的球面. 设 $B(x,\varepsilon)$ 为 $x$ 的任一球形邻域, 由于 $x\neq O$, 则当 $\varepsilon < 2\|x\|$ 时, $B(x,\varepsilon)\cap C_x$ 不可数, 而 $B(x,\varepsilon)\cap C_x$ 与射线集 $\{L_y\mid y\in B(x,\varepsilon)\cap C_x\}$ 是一一对应的, 所以存在 $y\in B(x,\varepsilon)\cap C_x$ 使得 $L_y\not\in\{L_{a^i}\mid i\in\mathbb{N}\}$, 从而 $y\not\in\cup_{i=1}^{\infty}A_i$, 即 $y\in B$, 这表明 $B(x,\varepsilon)\cap B\neq\emptyset$, 所以 $x\in\bar{B}$. 这就证明了 $\cup_{i=1}^{\infty}A_i\subset\bar{B}$, 故 $\bar{B}=\mathbb{E}^n$. 于是便有

\[
B\subset\mathbb{E}^n-A\subset\bar{B},
\]

从而 $\mathbb{E}^n-A$ 连通.

References:

陈肇姜 编著 《点集拓扑学--题解与反例》 2.1.7 

另一证法也可参考上面.