设 $f$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的递增函数. 令
\[
G=\{x\in\mathbb{R}\mid \forall\varepsilon > 0, f(x+\varepsilon) > f(x-\varepsilon)\}
\]
证明 $G$ 是 $\mathbb{R}$ 中的闭集.
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\[
G^c=\{x\in\mathbb{R}\mid \exists\ \varepsilon > 0, \text{s.t.}\ f(x+\varepsilon)\leqslant f(x-\varepsilon)\}.
\]
由于 $f$ 是递增函数, 故
\[
G^c=\{x\in\mathbb{R}\mid \exists\ \varepsilon > 0, \text{s.t.}\ f(x+\varepsilon)=f(x-\varepsilon)\}.
\]
我们证明 $G^c$ 是开集.
任取 $x\in G^c$, 则存在 $\varepsilon > 0$, 使得 $f(x+\varepsilon)=f(x-\varepsilon)$. 由于 $f$ 递增, 故
\[
f(x+\delta)=f(x-\delta),\quad\forall\ \delta\leqslant\varepsilon.
\]
故对于 $0 < \delta_0 < \varepsilon$, 有 $U(x,\delta_0)=(x-\delta_0,x+\delta_0)\subset G^c$. 因此 $G^c$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个开集, 从而 $G$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个闭集.