问题及解答

$\mathbb{E}^n(n\geqslant 2)$ 与 $\mathbb{E}^1$ 的任何子集都不同胚.

$\mathbb{E}^n(n\geqslant 2)$ 与 $S^1$ 的任何子集也不同胚.

更一般的, $\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{R}^m$ 同胚仅当 $n=m$. (参见问题1602)

类似的, 当 $n\neq m$ 时, $S^n$ 与 $S^m$ 也不同胚.

注意: 这需要代数拓扑的知识.

(1) 由问题1601, $\mathbb{E}^n(n\geqslant 2)$ 无割点. 若 $\mathbb{E}^1$ 的子集 $A$ 与 $\mathbb{E}^n$ 同胚, 则 $A$ 连通, 故必为区间.

但显然 $A$ 有割点, 产生矛盾. 所以 $\mathbb{E}^1$ 的任何子集都不与 $\mathbb{E}^n(n\geqslant 2)$ 同胚.

(2) 如果有 $S^1$ 的某个真子集 $A$ 与 $\mathbb{E}^n$ 同胚, 不妨假定 $A\subset S^1-\{(0,1)\}$, 而 $S^1-\{(0,1)\}$ 与 $\mathbb{E}^1$ 同胚, 从而 $A$ 也同胚于 $\mathbb{E}^1$ 的某个子集 $B$, 于是 $\mathbb{E}^n$ 与 $\mathbb{E}^1$ 的子集 $B$ 同胚, 与 (1) 矛盾. 故 $\mathbb{E}^n(n\geqslant 2)$ 与 $S^1$ 的任一真子集都不同胚.

(3) 再若 $\mathbb{E}^n(n\geqslant 2)$ 与 $S^1$ 同胚, 则 $\mathbb{E}^n-\{(1,0,\ldots,0)\}$ 与 $S^1-\{p\}$ 同胚, 其中 $p$ 为 $(1,0,\ldots,0)$ 的同胚像. 而 $S^1-\{p\}$ 与 $\mathbb{E}^1$ 是同胚的, 故有割点, 但 $\mathbb{E}^n-\{(1,0,\ldots,0)\}$ 无割点, 又引起矛盾. 所以 $\mathbb{E}^n(n\geqslant 2)$ 与 $S^1$ 也不同胚.

References:

陈肇姜 编著 《点集拓扑学--题解与反例》 2.1.13