覆盖流形(Covering Manifolds)
流形 $M^*$ 称为流形 $M$ 的一个(分歧)覆盖流形（(ramified) covering manifold）, 如果存在连续满射 $f:\ M^*\rightarrow M$, 对每个 $p^*\in M^*$, 存在 $M^*$ 上一个局部坐标系 $z^*$, 满足 $z^*(p^*)=0$, 以及 $M$ 上一个局部坐标系 $z$ 使得 $z(f(p^*))=0$. 并且, 对正整数 $n$, 使得在所给的局部坐标系下, $f$ 由 $z=(z^*)^n$ 给出.
若 $n > 1$, $p^*$ 被称为 a branch point of order $n-1$, 或 a ramification point of order $n$.
定义. (unlimited covering manifold) 设 $f:\ M^*\rightarrow M$ 是如上所述的映射. 若对 $M$ 上每条曲线 $c$, 及在 $f$ 映射下映到曲线 $c$ 起始点 $c(0)$ 的点 $p^*\in M^*$, 都存在 $M^*$ 上以 $p^*$ 为始点的曲线 $c^*$, 且其在 $f$ 下的像就是 $c$ (即 $f(c^*)=c$), 则称 $M^*$ 是一个 unlimited covering manifold.
注: unlimited covering manifold 翻译成“无限覆盖流形”不知是否恰当?
$M$ 的基本群 $\pi_1(M)$ 和它的光滑无限覆盖流形有密切联系. 若 $M^*$ 是 $M$ 的一个光滑无限覆盖流形, 则 $\pi_1(M^*)$ 同构于 $\pi_1(M)$ 的一个子群. 反之, $\pi_1(M)$ 的每个子群决定了 $M$ 的一个光滑无限覆盖流形 $M^*$, 使其基本群 $\pi_1(M^*)$ 同构于给定的子群.
定理. 设 $M^*$ 是流形 $M$ 的一个光滑无限覆盖流形, $c_1, c_2$ 是 $M$ 上的两条同伦的曲线. 设 $c_1^*, c_2^*$ 是 $c_1$ 和 $c_2$ 的提升, 且具有相同的始发点. 则 $c_1^*$ 同伦于 $c_2^*$. 特别地, 曲线 $c_1^*$ 和 $c_2^*$ 具有相同的终点.
定义(覆盖变换). 设 $M^*$ 是 $M$ 的覆盖流形, $f:\ M^*\rightarrow M$ 是覆盖映射. 设 $h:\ M^*\rightarrow M^*$ 是 $M^*$ 到自身的同胚映射, 且满足 $f\circ h=f$, 则称 $h$ 是 $M^*$ 的一个覆盖变换(covering transformation).
所有覆盖变换组成的集合在复合映射下构成一个群, 称为覆盖变换群. 称这个群是可迁的(transitive), 只要 $p_1^*, p_2^*\in M^*$ 使得 $f(p_1^*)=f(p_2^*)$, 就存在 $h$ 将 $p_1^*$ 映为 $p_2^*$.
对于 smooth unlimited case, 覆盖变换群是可迁的当且仅当 $\pi_1(M^*)$ 同构于 $\pi_1(M)$ 的一个正规子群, 并且此时, 覆盖变换群同构于 $\pi_1(M)/\pi_1(M^*)$.
当覆盖流形 $M^*$ 由 $\pi_1(M)$ 的平凡群所确定时, 这是一种特殊的重要的情形, 此时我们称 $M^*$ 是 $M$ 的万有覆盖(universal cover)或单连通覆盖(simply connected cover)或同伦覆盖(homotopy cover), 记为 $\tilde{M}$.
$\tilde{M}$ 的基本群是平凡群. 其覆盖变换群(也称复迭变换群 deck transformation group)同构于 $\pi_1(M)$.
参考文献
[1] Hershel M. Farkas, Irwin Kra, Riemann Surfaces, 2nd edition. GTM 71.