由逆映射定理, 我们立即有下面的推论.
推论6.6. 若 $DF$ 在 $W\subset\mathbb{R}^n$ 中每个点处都是非奇异的, 则 $F$ 是 $W$ 上的一个开映射.
推论6.7. $C^\infty$ 映射 $F:\ W\rightarrow F(W)$ 成为微分同胚的充要条件是 $F$ 是一一的并且 $DF$ 在 $W$ 的每一点处是非奇异的.
参考 [1] P.46, Corollary 6.6.
参考文献
[1] William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry.
1
Pf. 任取 $W$ 中的开集 $U$. 由于 $W$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的开集, 故 $U$ 也是 $\mathbb{R}^n$ 中的开集.
由于 $DF$ 在 $W$ 中每一点处都非奇异, 故 $\forall\ p\in U$, 存在开集 $V_p\subset U$, 使得 $F\biggr|_{V_p}:\ V_p\rightarrow F(V_p)$ 为微分同胚. 于是,
\[
\bigcup_{p\in U}V_p=U,\qquad F(U)=F(\bigcup_{p\in U}V_p)=\bigcup_{p\in U}F(V_p).
\]
事实上, $\forall\ x\in U$, $\exists\ V_p$, s.t. $x\in V_p$. 故 $F(x)\in F(V_p)$, 故 $F(U)\subset\bigcup_{p\in U}F(V_p)$.
另一方面, $\forall\ y\in\bigcup_{p\in U}F(V_p)$, $\exists\ q\in U$, s.t., $y\in F(V_q)$. 故存在 $x\in V_q$, s.t. $F(x)=y$. 故 $\bigcup_{p\in U}F(V_p)\subset F(U)$.
因此,
\[
\bigcup_{p\in U}F(V_p)=F(U).
\]
由于 $F(V_p)$ 为开集, 故 $\bigcup_{p\in U}F(V_p)$ 也是开集. 故 $F(U)$ 为开集. 所以 $F$ 是开映射.