Questions in category: 黎曼几何 (Riemannian Geometry)
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1. 设 $M$ 是一个紧致黎曼流形, 截面曲率非正. 若设 $\varphi: M\rightarrow M$ 是一个同伦于恒同映射的一个等距映射, 则存在 $M$ 的万有覆盖空间上的一个等距映射 $\tilde{\varphi}:\tilde{M}\rightarrow\tilde{M}$, 使得 $p\circ\tilde{\varphi}=\varphi\circ p$, 且 $\tilde{f}_{\tilde{\varphi}}(\tilde{x}):=\tilde{d}(\tilde{x},\tilde{\varphi}(\tilde{x}))$ 仅依赖于 $p(\tilde{x})$.

Posted by haifeng on 2017-10-24 14:53:47 last update 2017-10-24 15:47:17 | Answers (1) | 收藏


设 $M$ 是一个紧致黎曼流形, 截面曲率非正. 若设 $\varphi: M\rightarrow M$ 是一个同伦于恒同映射的一个等距映射, 则存在 $M$ 的万有覆盖空间上的一个等距映射 $\tilde{\varphi}:\tilde{M}\rightarrow\tilde{M}$, 使得 $p\circ\tilde{\varphi}=\varphi\circ p$, 且 $\tilde{f}_{\tilde{\varphi}}(\tilde{x}):=\tilde{d}(\tilde{x},\tilde{\varphi}(\tilde{x}))$ 仅依赖于 $p(\tilde{x})$. 

(这里 $p: \tilde{M}\rightarrow M$ 是覆盖映射. $\tilde{x}\in\widetilde{M}$, $\tilde{d}(\cdot,\cdot)$ 是 $\widetilde{M}$ 上的距离函数.)
 

 

注: $f_{\tilde{\varphi}}(x):=d(x,\tilde{\varphi}(x))$ 被称为关于 $\tilde{\varphi}$ 的位移函数(displacement function).

 

References:

Douglas A. Norris, Isometries Homotopic to the Identity, Proceedings of the American Mathematical Society, Volume 105, Number 3, March 1989.  [pdf]

 

2. Jacobi 场(Jacobi field)

Posted by haifeng on 2017-08-14 07:24:53 last update 2017-08-14 08:19:08 | Answers (0) | 收藏


Jacobi 场(Jacobi field) 是用于描述测地线在无穷小邻域中的性态的, 或者说是用于度量某一测地线其变分的变化情况的.

定义: 设 $\gamma$ 是流形 $M$ 上的一条测地线, $J$ 是沿 $\gamma(t)$ 的切向量场(因为是度量测地线 $\gamma$ 在附近的变化情况, 因此必定是切向量场). 称 $J$ 是沿 $\gamma$ 的 Jacobi 场, 如果 $J(t)$ 满足

\[
\frac{D^2}{dt}J(t)+R(J(t),\dot{\gamma}(t))\dot{\gamma}(t)=0.
\]

这里 $D$ 是关于 Levi-Civita 联络的协变导数, $R$ 是曲率算子.

 

 

 


References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_field

3. 共轭点(conjugate point)

Posted by haifeng on 2017-08-13 22:00:09 last update 2017-08-14 09:26:20 | Answers (0) | 收藏


设 $p$ 和 $q$ 是黎曼流形 $M$ 上的两个点, 且假设存在一条测地线 $\gamma$ 连接这两个点. $\gamma(0)=p$, $\gamma(1)=q$. (注意不是任意两个点都存在一条测地线连接它们. 如果是测地完备(geodesically complete)的黎曼流形, 则当然可以.)

我们称这两点沿着 $\gamma$ 是互为对方的共轭点, 如果存在沿着 $\gamma$ 的一个非零 Jacobi 场 $J$, 使得 $J(p)=J(q)=0$.

 

Remark:

根据Jacobi场的定义, 存在 $\gamma$ 附近的一族测地线 $\gamma_{\tau}(t)$, $\gamma_0=\gamma$, 使得 $\frac{\partial}{\partial\tau}\gamma_{\tau}(t)\biggr|_{\tau=0}=J(t)$, $J(t)$ 即是沿 $\gamma$ 的 Jacobi 场. 如果它们都是从 $p$ 点出发($\gamma_{\tau}(0)=p$), 那么它们中每一条的“另一点”$\gamma_{\tau}(1)$ 非常靠近 $q$.

注意我们只能说 $\gamma_{\tau}(1)$ 非常靠近 $q$, 不能说它们都等于 $q$, 甚至都不是 $q$.  也就是如果 $p$ 和 $q$ 共轭, 则不是必须存在两条连接 $p$ 和 $q$ 的测地线. 因为定义的要求知识 $J(p)=J(q)=0$, 如果写成参数 $t$, 则 $J(0)=J(1)=0$.

$J(1)=0$ 即 $\frac{\partial}{\partial\tau}\gamma_{\tau}(1)\biggl|_{\tau=0}=0$. 写成极限的形式, 如下:

\[
\lim_{\Delta\tau\rightarrow 0}\frac{\gamma_{\tau+\Delta\tau}(1)-\gamma_{\tau}(1)}{\Delta\tau}=0,
\]

 

 

 

 


References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_points

 

4. Milnor conjecture

Posted by haifeng on 2017-08-12 19:29:58 last update 2017-08-12 19:37:29 | Answers (0) | 收藏


Milnor 在 1968 年猜测任意一个开的 $n$ 维流形, 若 $\mathrm{Ric}_M\geqslant 0$, 则其基本群是有限生成的.

 

Thm. (Peter Li, Anderson 1980) 对于黎曼流形 $(M^n,g)$, 若 $\mathrm{Ric}\geqslant 0$ 且 $\mathrm{Vol}(B_r(p))\sim r^n$, 即半径为 $r$ 的球体积关于半径的增长速度是最快的(with max volume growth), 则 $\pi_1(M^n)$ 是有限生成的.

 

Remark: 体积增长得最快的如 hyperbola; 体积增长的最慢的如圆柱(cylinder): $\mathrm{Vol}(B_r(p))\sim r$.

 

 

 

5. 设 $M$ 为紧致黎曼曲面, $p,q$ 是 $M$ 上不同的两点. $z,w$ 分别是 $p,q$ 附近的局部坐标函数. 证明: 存在 $M$ 上的亚纯微分, 它以 $p,q$ 为仅有的极点, 且在 $p$ 附近具有奇性部分 $\frac{dz}{z}$, 在 $q$ 附近具有奇性部分 $-\frac{dw}{w}$.

Posted by haifeng on 2017-06-19 10:59:02 last update 2017-06-19 10:59:02 | Answers (0) | 收藏


设 $M$ 为紧致黎曼曲面, $p,q$ 是 $M$ 上不同的两点. $z,w$ 分别是 $p,q$ 附近的局部坐标函数.

证明: 存在 $M$ 上的亚纯微分, 它以 $p,q$ 为仅有的极点, 且在 $p$ 附近具有奇性部分 $\frac{dz}{z}$, 在 $q$ 附近具有奇性部分 $-\frac{dw}{w}$.

6. 第二 Bianchi 恒等式

Posted by haifeng on 2015-08-25 18:17:44 last update 2015-08-25 18:21:59 | Answers (2) | 收藏


第二 Bianchi 恒等式

对于(1,3)型张量 $R_{XY}Z$, 有

\[
(\nabla_X R)_{YZ}+(\nabla_Y R)_{ZX}+(\nabla_Z R)_{XY}=0.
\]


Ref.

梅加强, 《流形与几何初步》, 命题 3.3.2

7. $n>2$ 维黎曼流形成为 Einstein 流形的充要条件

Posted by haifeng on 2014-04-05 15:43:04 last update 2014-04-05 15:45:32 | Answers (0) | 收藏


$n>2$ 维黎曼流形 $(M,g)$ 是 Einstein 流形当且仅当

\[\text{Ric}=\frac{\text{scal}}{n}g.\]


回忆 Einstein 流形的定义, 若存在常数 $k$, 使得 $\text{Ric}(v)=kv$ 或等价的,

\[\text{Ric}(v,w)=kg(v,w),\quad v,w\in T_p M.\]

8. 流形上的 Laplace 算子

Posted by haifeng on 2014-04-05 11:10:52 last update 2014-08-20 11:12:31 | Answers (3) | 收藏


设 $f$ 是黎曼流形 $(M^n,g)$ 上的一个 $C^k$ 函数($k\geqslant 2$). 定义 $f$ 的 Laplacian 为

\[\Delta f:=\text{div}(\text{grad}f).\]

则 $\Delta f\in C^{k-1}$.

这里 $\text{grad}f$ 是 $f$ 的梯度向量场, 定义为: 对 $M$ 上的任意向量场 $\xi$, 都有

\[\langle\text{grad}f, \xi\rangle=\xi f.\]

其中 $\xi f$ 是沿 $\xi$ 方向对 $f$ 的方向导数.

而散度 $\text{div}X$ 的定义为

\[\text{div}X=\text{trace}(\xi\mapsto\nabla_{\xi}X).\]


证明:

(1)

\[
\begin{aligned}
\text{div}(X+Y)&=\text{div}X+\text{div}Y,\\
\text{div}(fX)&=f(\text{div}X)+\langle\text{grad}f,X\rangle.\\
\end{aligned}
\]

(2)

\[
\begin{aligned}
\Delta(f+h)&=\Delta f+\Delta h,\\
\text{div}(h(\text{grad}f))&=h(\Delta f)+\langle\text{grad}f,\text{grad}h\rangle,\\
\Delta(fh)&=h(\Delta f)+2\langle\text{grad}f,\text{grad}h\rangle+f(\Delta h).\\
\end{aligned}
\]


下面使用局部坐标写出上面这些算子的表达式. 设 $U$ 是 $M$ 的一个开集, $p\in U$. $x:U\rightarrow\mathbb{R}^n$ 是 $U$ 映到 $\mathbb{R}^{n}$ 中某区域的一个微分同胚, 也就是 $x$ 是一个图卡. 则相应于此图卡, 有 $n$ 个向量场, $\partial_j:=\frac{\partial}{\partial x^j}$, $j=1,2,\ldots,n$. 沿这些方向的方向导数为

\[
(\partial_j(p))f=\frac{\partial(f\circ x^{-1})}{\partial x^j}(x(p)).
\]

对每一点 $p\in U$, 向量 $\{\partial_1(p),\ldots,\partial_n(p)\}$ 张成了 $M_p$(=$T_p(M)$). 因此对于 $M$ 上的向量场 $\xi$, 有

\[\xi=\sum_{j=1}^{n}\xi^j\partial_j.\]

从而对于 $f\in C^1(M)$, 有

\[
\xi f=\sum_j\xi^j\partial_j f.
\]

\[
\text{grad}(f)=\sum_{k,\ell}(g^{k\ell}\partial_{\ell}f)\partial_{k}.
\]

对于给定的黎曼度量 $g$, 记 $g_{ij}=\langle\partial_i,\partial_j\rangle_g$. 设 $u\in C^{k}(M)$, $k\geqslant 2$. $X$ 是 $M$ 上的 $C^1$ 向量场. 局部表示为 $X=\sum_j X^j\partial_j$, 证明:

\[
\text{grad}f=\sum_{k,\ell}(g^{k\ell}\partial_\ell f)\partial_k,
\]

\[
\text{div}X=\frac{1}{\sqrt{\det(g_{ij})}}\sum_j\partial_j(X^j\sqrt{\det(g_{ij})}),
\]

\[
\Delta u=\frac{1}{\sqrt{\det(g_{ij})}}\partial_k\bigl(\sqrt{\det(g_{ij})}g^{k\ell}\partial_\ell u\bigr).
\]

 


References:

Isaac Chavel, Eigenvalues in Riemannian Geometry. Academic Press, 1984.

9. Sasaki 流形

Posted by haifeng on 2014-03-24 18:49:40 last update 2014-03-24 18:54:39 | Answers (0) | 收藏


[Def] $(S,g)$ 称为是 Sasaki 流形, 如果锥流形 $(C(S),\bar{g})=(\mathbb{R}_+\times S,dr^2+r^2g)$ 是 Kahler 流形.

所谓 Kahler 流形 参见 ...

$S$ 常等同于 $C(S)$ 的子流形 $\{1\}\times S$. 于是 $\dim S$ 是奇数, 不妨记为 $2m+1$, 而 $\dim_{\mathbb{C}}C(S)=m+1$.

记 $J$ 是 $C(S)$ 上的复结构, 定义 $S$ 上的向量场 $\xi$ 和 1-形式 $\eta$ 如下:

\[ \xi:=J(\frac{\partial}{\partial r}),\quad\eta(Y):=g(\xi,Y), \]

这里 $Y$ 是 $S$ 上的任意光滑向量场. (记 $S$ 上所有光滑向量场集合为 $\mathscr{X}(S)$.)

Prop. (a) $\xi$ 是 $S$ 上的一个 Killing 向量场. (b) $\xi$ 的积分曲线是一条测地线. (c) $\eta(\xi)=1$ 且 $d\eta(\xi,X)=0$, 对任意 $X\in\mathscr{X}(S)$.

Pf.

References: Akito Futaki, Hajime Ono, Guofang Wang, Transverse Kähler geometry of Sasaki manifolds and toric Sasaki-Einstein manifolds, J. Differential Geometry, 83 (2009) 585--635.

10. Killing 向量场

Posted by haifeng on 2014-03-24 18:02:08 last update 2014-03-24 18:39:08 | Answers (0) | 收藏


黎曼流形 $(M,g)$ 上的向量场 $X$ 称为是 Killing 向量场, 当且仅当 $L_X g=0$, 或等价的, 当且仅当

\[
(L_X g)(Y,Z)=g(\nabla_Y X,Z)+g(Y,\nabla_Z X)=0,\quad\forall\ Y, Z\in\Gamma(TM)
\]

Pf.

根据李导数的性质(参见问题1131

\[
(L_X T)(Y_1,\ldots,Y_p)=D_X\bigl(T(Y_1,\ldots,Y_p)\bigr)-\sum_{i=1}^{p}T(Y_1,\ldots,L_X Y_i,\ldots,Y_p),
\]

其中 $T$ 是 $(0,p)$-型张量. 以及 $L_X Y=[X,Y]$, 有

\[
\begin{split}
(L_X g)(Y,Z)&=Xg(Y,Z)-g(L_X Y,Z)-g(Y,L_X Z)\\
&=Xg(Y,Z)-g([X,Y],Z)-g(Y,[X,Z])\\
&=g(\nabla_X Y,Z)+g(Y,\nabla_X Z)-g([X,Y],Z)-g(Y,[X,Z])\\
&=g(\nabla_Y X,Z)+g(Y,\nabla_Z X).
\end{split}
\]

这里用到了 Levi-Civita 联络的无挠性 $\nabla_X Y-\nabla_Y X=[X,Y]$.

因此

\[
(L_X g)(Y,Z)=g(\nabla_Y X,Z)+g(Y,\nabla_Z X).
\]

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