设 $M$ 为紧致黎曼曲面, $p,q$ 是 $M$ 上不同的两点. $z,w$ 分别是 $p,q$ 附近的局部坐标函数.

证明: 存在 $M$ 上的亚纯微分, 它以 $p,q$ 为仅有的极点, 且在 $p$ 附近具有奇性部分 $\frac{dz}{z}$, 在 $q$ 附近具有奇性部分 $-\frac{dw}{w}$.

第二 Bianchi 恒等式

对于(1,3)型张量 $R_{XY}Z$, 有

\[
(\nabla_X R)_{YZ}+(\nabla_Y R)_{ZX}+(\nabla_Z R)_{XY}=0.
\]

Ref.

梅加强, 《流形与几何初步》, 命题 3.3.2

$n>2$ 维黎曼流形 $(M,g)$ 是 Einstein 流形当且仅当

\[\text{Ric}=\frac{\text{scal}}{n}g.\]

回忆 Einstein 流形的定义, 若存在常数 $k$, 使得 $\text{Ric}(v)=kv$ 或等价的,

\[\text{Ric}(v,w)=kg(v,w),\quad v,w\in T_p M.\]

设 $f$ 是黎曼流形 $(M^n,g)$ 上的一个 $C^k$ 函数($k\geqslant 2$). 定义 $f$ 的 Laplacian 为

\[\Delta f:=\text{div}(\text{grad}f).\]

则 $\Delta f\in C^{k-1}$.

这里 $\text{grad}f$ 是 $f$ 的梯度向量场, 定义为: 对 $M$ 上的任意向量场 $\xi$, 都有

\[\langle\text{grad}f, \xi\rangle=\xi f.\]

其中 $\xi f$ 是沿 $\xi$ 方向对 $f$ 的方向导数.

而散度 $\text{div}X$ 的定义为

\[\text{div}X=\text{trace}(\xi\mapsto\nabla_{\xi}X).\]

证明:

(1)

\[
\begin{aligned}
\text{div}(X+Y)&=\text{div}X+\text{div}Y,\\
\text{div}(fX)&=f(\text{div}X)+\langle\text{grad}f,X\rangle.\\
\end{aligned}
\]

(2)

\[
\begin{aligned}
\Delta(f+h)&=\Delta f+\Delta h,\\
\text{div}(h(\text{grad}f))&=h(\Delta f)+\langle\text{grad}f,\text{grad}h\rangle,\\
\Delta(fh)&=h(\Delta f)+2\langle\text{grad}f,\text{grad}h\rangle+f(\Delta h).\\
\end{aligned}
\]

下面使用局部坐标写出上面这些算子的表达式. 设 $U$ 是 $M$ 的一个开集, $p\in U$. $x:U\rightarrow\mathbb{R}^n$ 是 $U$ 映到 $\mathbb{R}^{n}$ 中某区域的一个微分同胚, 也就是 $x$ 是一个图卡. 则相应于此图卡, 有 $n$ 个向量场, $\partial_j:=\frac{\partial}{\partial x^j}$, $j=1,2,\ldots,n$. 沿这些方向的方向导数为

\[
(\partial_j(p))f=\frac{\partial(f\circ x^{-1})}{\partial x^j}(x(p)).
\]

对每一点 $p\in U$, 向量 $\{\partial_1(p),\ldots,\partial_n(p)\}$ 张成了 $M_p$(=$T_p(M)$). 因此对于 $M$ 上的向量场 $\xi$, 有

\[\xi=\sum_{j=1}^{n}\xi^j\partial_j.\]

从而对于 $f\in C^1(M)$, 有

\[
\xi f=\sum_j\xi^j\partial_j f.
\]

\[
\text{grad}(f)=\sum_{k,\ell}(g^{k\ell}\partial_{\ell}f)\partial_{k}.
\]

对于给定的黎曼度量 $g$, 记 $g_{ij}=\langle\partial_i,\partial_j\rangle_g$. 设 $u\in C^{k}(M)$, $k\geqslant 2$. $X$ 是 $M$ 上的 $C^1$ 向量场. 局部表示为 $X=\sum_j X^j\partial_j$, 证明:

\[
\text{grad}f=\sum_{k,\ell}(g^{k\ell}\partial_\ell f)\partial_k,
\]

\[
\text{div}X=\frac{1}{\sqrt{\det(g_{ij})}}\sum_j\partial_j(X^j\sqrt{\det(g_{ij})}),
\]

\[
\Delta u=\frac{1}{\sqrt{\det(g_{ij})}}\partial_k\bigl(\sqrt{\det(g_{ij})}g^{k\ell}\partial_\ell u\bigr).
\]

References:

Isaac Chavel, Eigenvalues in Riemannian Geometry. Academic Press, 1984.

[Def] $(S,g)$ 称为是 Sasaki 流形, 如果锥流形 $(C(S),\bar{g})=(\mathbb{R}_+\times S,dr^2+r^2g)$ 是 Kahler 流形.

所谓 Kahler 流形 参见 ...

$S$ 常等同于 $C(S)$ 的子流形 $\{1\}\times S$. 于是 $\dim S$ 是奇数, 不妨记为 $2m+1$, 而 $\dim_{\mathbb{C}}C(S)=m+1$.

记 $J$ 是 $C(S)$ 上的复结构, 定义 $S$ 上的向量场 $\xi$ 和 1-形式 $\eta$ 如下:

\[ \xi:=J(\frac{\partial}{\partial r}),\quad\eta(Y):=g(\xi,Y), \]

这里 $Y$ 是 $S$ 上的任意光滑向量场. (记 $S$ 上所有光滑向量场集合为 $\mathscr{X}(S)$.)

Prop. (a) $\xi$ 是 $S$ 上的一个 Killing 向量场. (b) $\xi$ 的积分曲线是一条测地线. (c) $\eta(\xi)=1$ 且 $d\eta(\xi,X)=0$, 对任意 $X\in\mathscr{X}(S)$.

Pf.

References: Akito Futaki, Hajime Ono, Guofang Wang, Transverse Kähler geometry of Sasaki manifolds and toric Sasaki-Einstein manifolds, J. Differential Geometry, 83 (2009) 585--635.

黎曼流形 $(M,g)$ 上的向量场 $X$ 称为是 Killing 向量场, 当且仅当 $L_X g=0$, 或等价的, 当且仅当

\[
(L_X g)(Y,Z)=g(\nabla_Y X,Z)+g(Y,\nabla_Z X)=0,\quad\forall\ Y, Z\in\Gamma(TM)
\]

Pf.

根据李导数的性质（参见问题1131）

\[
(L_X T)(Y_1,\ldots,Y_p)=D_X\bigl(T(Y_1,\ldots,Y_p)\bigr)-\sum_{i=1}^{p}T(Y_1,\ldots,L_X Y_i,\ldots,Y_p),
\]

其中 $T$ 是 $(0,p)$-型张量. 以及 $L_X Y=[X,Y]$, 有

\[
\begin{split}
(L_X g)(Y,Z)&=Xg(Y,Z)-g(L_X Y,Z)-g(Y,L_X Z)\\
&=Xg(Y,Z)-g([X,Y],Z)-g(Y,[X,Z])\\
&=g(\nabla_X Y,Z)+g(Y,\nabla_X Z)-g([X,Y],Z)-g(Y,[X,Z])\\
&=g(\nabla_Y X,Z)+g(Y,\nabla_Z X).
\end{split}
\]

这里用到了 Levi-Civita 联络的无挠性 $\nabla_X Y-\nabla_Y X=[X,Y]$.

因此

\[
(L_X g)(Y,Z)=g(\nabla_Y X,Z)+g(Y,\nabla_Z X).
\]

设 $V$ 是 $n$-维实向量空间, 其对偶空间为 $V^*$. 对 $V$ 的每个基 $(e_1,\ldots,e_n)$, 对应到 $V^*$ 的基 $(\zeta_1,\ldots,\zeta_n)$.

$A^p(V)$ 是由 $\eta_1\wedge\cdots\wedge\eta_p$ 等张成. $A(V)=\oplus_{p=0}^{n}A^p(V)$.

定义星算子 $*:\ A(V)\rightarrow A(V)$ 为满足下面条件的线性映射

\[
\begin{aligned}
*(1)=\pm\zeta_1\wedge\cdots\wedge\zeta_n,\quad *(\zeta_1\wedge\cdots\wedge\zeta_n)=\pm 1\\
*(\zeta_1\wedge\cdots\wedge\zeta_p)=\pm\zeta_{p+1}\wedge\cdots\wedge\zeta_n.
\end{aligned}
\]

这里的 $+$ 指 $(\zeta_1,\ldots,\zeta_p,\zeta_{p+1},\ldots,\zeta_n)$ 是正定向的, $-$ 指负定向.

因此 $*$ 将 $A^p(V)$ 映到 $A^{n-p}(V)$.

Exer1. 对于 $\omega\in A^p(V)$, 证明 $**\omega=(-1)^{p(n-p)}\omega$.

Thm. 设 $M$ 是一紧致连通的带边黎曼流形, $\text{Ric}(M)>0$. 设 $H_x$ 是边界 $\partial M$ 在 $x\in M$ 处关于内法向量的平均曲率, $H_x>0$, $\forall\ x\in\partial M$, 则 $\partial M$ 是连通的.

[分析] 利用弧长的第二变分公式可将 Ricci 曲率和平均曲率联系起来.

Reference:

H. Blaine Lawson, Jr. The Unknottedness of Minimal Embeddings. Invent. Math. 11. 183-187 (1970).

设 $(M^n,g)$ 是一 $n(\geq 4)$ 维的完备单连通黎曼流形, 且具有非正截面曲率. 则下面的不等式是否成立?

\[
\text{vol}_{n}(\Omega)\leq\frac{\text{vol}_n(B^n(1))}{[\text{vol}_{n-1}(S^{n-1}(1))]^{\frac{n}{n-1}}}\cdot [\text{vol}_{n-1}(\partial\Omega)]^{\frac{n}{n-1}}
\]

这里 $S^{n-1}(1)=\partial B^n(1)$, $B^n(1)$ 指欧氏空间中半径为 1 的开球.

Remark:

B. Kleiner 解决了 $n=3$ 的情形.

令 $\Sigma^2$ 是一个亏格大于等于 2 的闭曲面. 设在度量 $g$ 之下有非正的曲率. 问在球丛 $S\Sigma^2$ 上的测地流 $\{\phi_t\}$ 是否是 ergodic?

也就是说, 对于 $S\Sigma^2$ 中的任意 $\{\phi_t\}$-不变的可测集 $\Omega$ (即满足 $\phi_t\Omega\subset\Omega$, 是否有

\[
\text{vol}(\Omega)[\text{vol}(S\Sigma^2-\Omega)]=0 ?
\]