这是 $\log u$ 梯度估计的直接推论.

References:

丘成桐、孙理察 著 微分几何讲义, 高等教育出版社. 2004

设 $M$ 是完备的黎曼流形, $f\in C^3(M)$, 任取 $p\in M$, $\{x_i\}$ 是 $p$ 点的法坐标系, 则有下面的公式

\[\Delta|\nabla f|^2=2\sum_{i,j}f_{ij}^2+2\sum_{i,j}R_{ij}f_if_j+2\sum_{i}f_i(\Delta f)_i,\]

其中 $f_i$ 是 $f$ 相应于 $\frac{\partial}{\partial x_i}$ 的协变导数, $R_{ij}$ 是 $M$ 的 Ricci 张量.

\[Ric(\nabla f,\nabla f)=\sum_{i,j}R_{ij}f_i f_j\]

由于该等式中含有 Ric 曲率项, 以及函数的梯度, 因此可应用到有关 Ricci 曲率条件的问题中. 比如梯度估计就使用了此等式.

$\text{Ric}\geq k$ 指 $\text{Ric}(v)$ 的特征值均大于等于 $k$. 用 $(0,2)$-型张量的语言, 即指

\[\text{Ric}(v,v)\geq kg(v,v),\quad\forall\ v\in T_p(M), \quad\forall\ p\in M.\]

References:

丘成桐、孙理察 著 微分几何讲义, 高等教育出版社.

在丘成桐和孙理察的著作《微分几何讲义》第16页上提到所谓的Ricci公式,

\[f_{jij}=f_{jji}+R_{ij}f_j\]

其中 $f$ 是完备黎曼流形 $M$ 上的函数, 且 $f\in C^3(M)$. 实际上, 这里提到的 Ricci 公式即 Ricci 恒等式. 也可参见[Li]的第三节.

References:

[C-L]陈维桓、李兴校 著, 黎曼几何引论, 上册 4.5节 Ricci 恒等式.

[Li] Peter Li, Lecture notes on geometric analysis. Lecture Notes Series, 6. Seoul National University, Research Institute of Mathematics, Global Analysis Research Center, Seoul, 1993.
 

设 $E$ 是一完备非紧黎曼流形 $M$ 的一个端, Peter Li 和 Jiaping Wang 在[L-W]中证明如果 $E$ 满足如下的 Sobolev型不等式: 对所有具有紧支集的 $u\in W^{1,2}(E)$, 存在常数 $\nu\geq 1$ 和 $C>0$, 有

\[(\int_E |u|^{2\nu})^{\frac{1}{\nu}}\leq C\int_E |\nabla u|^2,\]

则 $E$ 必或者体积有限或者非抛物型.

References:

[C-M-V] M. P. Cavalcante, H. Mirandola, and F. Vitório, The non-parabolicity of infinite volume ends, arXiv:1201.6291v1 [math.DG] 30 Jan 2012. http://arxiv.org/abs/1201.6391

[L-W] Peter Li, Jiaping Wang, Minimal hypersurfaces with finite index, Math. Res. Lett. 9 (2002), no.1, 95-103.

Cao-Shen-Zhu[C-S-Z] 证明了 $n+1$ 维欧氏空间 $R^{n+1}$ ($n\geq 3$) 中的完备浸入稳定极小超曲面 $M^n$ 仅有一个端(end).

References:

[C-S-Z] Huaidong Cao, Ying Shen and Shunhui Zhu, The structure of stable minimal hypersurfaces in $\mathbb{R}^{n+1}$, Math. Res. Let. 4 (1997),637-644.

[L-W] Peter Li, Jiaping Wang, Minimal hypersurfaces with finite index, Math. Res. Lett. 9 (2002), no.1, 95-103.

Def1. 端

设 $M^m$ 是一 $m$ 维完备黎曼流形, $\Omega$ 是 $M$ 中某个紧子集, 若 $E$ 是 $M-\Omega$ 的一个非紧连通分支, 则称 $E$ 是 $M$ 的一个端(end).

Def2. 端是正则的

假定 $E$ 是 $M$ 的一个端, 对任意 $r\geq 0$, 记

\[E_r:=\{x\in E : \text{dist}(x,\partial E)=r\}.\]

我们称端 E 是正则的(regular), 如果对所有充分大的 $r$ 及对定义在

\[U_r:=\{x\in E : \frac{r}{2}<\text{dist}(x,\partial E)<2r\}\]

上的任意正的调和函数 $u$, 在 $E_r$ 上都有 Harnack 型的不等式:

\[\sup_{E_r}u\leq C\inf_{E_r}u,\]

其中 $C$ 不依赖于 $r$.

Def3. 抛物端

设 $E$ 是 $M$ 的一个端. 若 $E$ 上不存在满足如下条件的非常值调和函数 $f:E\rightarrow\mathbb{R}$:

(i) $f|_{\partial E}=1$;

(ii) $\liminf_{y\rightarrow E(\infty)}f(y)<1$, (其中 $E(\infty)$ 指 $E$ 的无穷远)

则称 $E$ 是抛物的. 否则我们就称 $E$ 是 $M$ 的一个非抛物端, 并称函数 $f$ 是 $E$ 的闸函数(barrie function).

注意对函数 $f$ 加上并乘以某常数, 上述条件可以改为

(i) $f|_{\partial E}=1$;

(ii) $\liminf_{y\rightarrow E(\infty)}f(y)=0$, (其中 $E(\infty)$ 指 $E$ 的无穷远)

References:

Peter Li, Harmonic functions on complete Riemannian manifolds.

M.P.Cavalcante, H.Mirandola, and F.Vitório, The non-parabolicity of infinite volume ends. arXiv:1201.6391v1 [math.DG] 30 Jan 2012. http://arxiv.org/abs/1201.6391

Grigor’yan, A., Analytic and geometric background of recurrence and non-explosion of the
Brownian motion on Riemannian manifolds. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 36 (1999), no. 2,
135 – 249.

设 $M^n$ 是 $n$-维闭可定向流形, 其 Gromov 体积定义为

其中 $r_i$ 指的是代表流形 $M^n$ 基本类 $[M^n]$ 的实的闭链的系数.

假设 $M^n$ 是个非紧完备的具有非负截面曲率的黎曼流形, 则存在一个全凸的紧致无边子流形 $S$(称为灵魂), $0\leqslant\dim S < n$, 使得 $M^n$ 微分同胚于 $S$ 在 $M^n$ 中的法向量丛 $NS$.
更进一步的, 若 $X,Y\in TM$ 满足 $X\perp S$, $Y\in TS$, 则 $K(X,Y)\cong 0$. (这里 $K(X,Y)$ 表示由 $X,Y$ 张成的截面曲率.)

注: 结论也可以这样说, “则存在一个紧致无边的全测地子流形 $S$, 且是凸的, $0\leqslant\dim S < n$, 使得 $M^n$ 微分同胚于 $S$ 在 $M^n$ 中的法向量丛.” 因为根据 Cartan-Hadamard 定理, 此时凸推出全凸, 参见问题304.

References:
曹建国, 王友德 著 现代黎曼几何简明教程. 科学出版社. 2006.

称为射线的测地线当然只能向一个方向无限延伸. 考虑以弧长为参数的测地线(normal geodesic) $c:[0,\infty]\rightarrow M$, 如果 $c$ 的任意子线段是其两端点间最短的测地线, 则称这样的测地线是射线(ray).

• 根据 Cartan-Hadamard 定理, 对于具有非正截面曲率的完备单连通黎曼流形, 其中的凸集一定是全凸集.
• 对于具有非正截面曲率的完备单连通黎曼流形, 它的所有的测地球(开的或闭的)都是全凸集. 特别的, 这样的流形上每点都是全凸的.
• 一般情形下, 单点集不一定是全凸集.

单点集是全凸的, 是指对于 $x\in M$, 不存在非平凡的测地线 $c:[0,1]\rightarrow M$, 使得 $c(0)=c(1)=x$.