设 $\mathbb{R}^k\rightarrow M^{n+k}\rightarrow S^n(1)$ 是 $S^n(1)$ 上的一个向量丛.

问, $M^{n+k}$ 上是否存在具有非负截面曲率的度量?

$S^2\times S^2$ 上是否存在这样的黎曼度量, 使得在该度量下有正的截面曲率?

如何计算 $S^3$ 中单纯形的体积? 一般的, 对于 $S^n$ 呢?

考虑三维球面 $S^3$, $g$ 是上面的一个光滑黎曼度量. 问 $S^3$ 上是否存在无穷多条闭的测地线?

(这里要求这些测地线的像不相同.)

更一般的, 对于紧致光滑黎曼流形 $(M^n,g)$ 提出同样的问题.

记 $S^n=\{(x^1,\ldots,x^{n+1})\in\mathbb{R}^{n+1}\mid \sum_{i=1}^{n+1}(x^i)^2=1\}$, 包含映射 $i:S^n\rightarrow\mathbb{R}^{n+1}$ 是一个嵌入. 试在 $S^n$ 的局部坐标系中把 $i^*g_0$ 表达出来, 此处 $g_0=\sum_{i=1}^{n+1}dx^i\otimes dx^i$ 是 $\mathbb{R}^{n+1}$ 上的标准度量.

Hint:

比较简单的办法是通过变换直接将度量张量计算出来.

另一种比较笨的办法是通过切映射将度量张量计算出来.

令 $U=S^n-\{(0,\ldots,0,-1)\}$, $V=S^n-\{(0,\ldots,0,1)\}$.

考虑球极投影:

\[
\begin{array}{rcl}
\varphi_U:\ U&\rightarrow&\mathbb{R}^n\\
(x^1,\ldots,x^n,x^{n+1})&\mapsto&\Bigl(\frac{x^1}{1+x^{n+1}},\ldots,\frac{x^n}{1+x^{n+1}}\Bigr)=:(u^1,\ldots,u^n)
\end{array}
\]

从而经过计算得到

\[
i^*g_0=\frac{4}{\bigl(1+\sum_{i=1}^{n}(u^i)^2\bigr)^2}\sum_{i=1}^{n}du^i\otimes du^i.
\]

计算 $S^n$, $\mathbb{C}P^n$ 和 $SL_n(\mathbb{R})/SO(n)$ 的曲率.

$i:\ S^n\rightarrow\mathbb{E}^{n+1}$ 是球面 $S^n$ 到欧氏空间 $\mathbb{E}^{n+1}=(\mathbb{R}^{n+1},g_0)$ 的自然嵌入, 其中

\[g_0=\sum_{i=1}^{n+1}dx^i\otimes dx^i\]

是 $\mathbb{R}^{n+1}$ 上的标准度量. 试在 $S^n$ 的局部坐标系中把 $i^* g_0$ 表达出来.

$S$ 为第二基本形式的平方范数: $S:=\sum_{\alpha,i,j}(h_{ij}^\alpha)^2$

这里 $H$ 是 $M$ 的平均曲率

\[H:=\Biggl|\frac{1}{n}\sum_{\alpha,i}h_{ii}^\alpha e_\alpha\Biggr|\]

$K$, $R$ 分别记指 $N$ 和 $M$ 的黎曼曲率张量.

\[R_{ijkl}=K_{ijkl}+\sum_\alpha(h_{ik}^\alpha h_{jl}^\alpha-h_{il}^\alpha h_{jk}^\alpha)\]

$\Phi:=A-HI$ 称为无迹第二基本形式(Traceless second fundamental form)

证明 $|\Phi|^2=|A|^2-nH^2$.

定理(Shiohama & Hongwei Xu)([S-X],Proposition 2)

设 $M^n\subset N^{n+p}$ 是 $N$ 的子流形. 对于 $x\in M$ 的任意标准正交标架, $N$ 的黎曼曲率张量 $K_N$ 满足

\[\sum_i K_{inin}\geq (n-1)c,\]

这里 $c$ 是一常数. 则对任意单位向量 $X\in M_x$, 有

\[\text{Ric}_M(X)\geq\frac{n-1}{n}\biggl[nc+2nH^2-S-\frac{n(n-2)}{\sqrt{n(n-1)}}H(S-nH^2)^{1/2}\biggr]\]

References

[S-X] Shiohama, K. and Xu, H., The topological sphere theorem for complete submanifolds, Compositio Math. 107 (1997), 221 – 232.

定理(Shiohama & Xu)

Katsuhiro Shiohama 和 Hongwei Xu(许宏伟)在[S-X] 中得到了如下结论(见[S-X] Theorem 1).

设 $M\subset N$ 是 $(n+p)$ 维黎曼流形 $N$ 的完备子流形, 且 $K_N\geq c$, 其中 $c$ 是一常数, 满足 $c+H^2>0$. 若 $\Lambda(M)<0$, 则 $M$ 紧致. 并且 $M$ 的基本群有限.

这里 \[\Lambda(M):=\sup_M(S-\alpha(n,H,c))<0,\]

\[\alpha(n,H,c):=nc+\frac{n^3}{2(n-1)}H^2-\frac{n(n-2)}{2(n-1)}\sqrt{n^2 H^4+4(n-1)cH^2}.\]

符号说明

$S$ 为第二基本形式的平方范数: $S:=\sum_{\alpha,i,j}(h_{ij}^\alpha)^2$

这里 $H$ 是 $M$ 的平均曲率

\[H:=\Biggl|\frac{1}{n}\sum_{\alpha,i}h_{ii}^\alpha e_\alpha\Biggr|\]

$K$, $R$ 分别记指 $N$ 和 $M$ 的黎曼曲率张量.

\[R_{ijkl}=K_{ijkl}+\sum_\alpha(h_{ik}^\alpha h_{jl}^\alpha-h_{il}^\alpha h_{jk}^\alpha)\]

证明思路

应用 Bonnet-Myers 定理, 证明 $M$ 的 Ricci 曲率有正的下界. 证明中的计算有相当的技巧. 有的公式值得应用, 如[S-X]中的Proposition 2

References:

[S-X] Shiohama, K. and Xu, H., The topological sphere theorem for complete submanifolds, Compositio Math. 107 (1997), 221 – 232. [pdf]