Thm. 设 $M$ 是一紧致连通的带边黎曼流形, $\text{Ric}(M)>0$. 设 $H_x$ 是边界 $\partial M$ 在 $x\in M$ 处关于内法向量的平均曲率, $H_x>0$, $\forall\ x\in\partial M$, 则 $\partial M$ 是连通的.

[分析] 利用弧长的第二变分公式可将 Ricci 曲率和平均曲率联系起来.

Reference:

H. Blaine Lawson, Jr. The Unknottedness of Minimal Embeddings. Invent. Math. 11. 183-187 (1970).

设 $(M^n,g)$ 是一 $n(\geq 4)$ 维的完备单连通黎曼流形, 且具有非正截面曲率. 则下面的不等式是否成立?

\[
\text{vol}_{n}(\Omega)\leq\frac{\text{vol}_n(B^n(1))}{[\text{vol}_{n-1}(S^{n-1}(1))]^{\frac{n}{n-1}}}\cdot [\text{vol}_{n-1}(\partial\Omega)]^{\frac{n}{n-1}}
\]

这里 $S^{n-1}(1)=\partial B^n(1)$, $B^n(1)$ 指欧氏空间中半径为 1 的开球.

Remark:

B. Kleiner 解决了 $n=3$ 的情形.

令 $\Sigma^2$ 是一个亏格大于等于 2 的闭曲面. 设在度量 $g$ 之下有非正的曲率. 问在球丛 $S\Sigma^2$ 上的测地流 $\{\phi_t\}$ 是否是 ergodic?

也就是说, 对于 $S\Sigma^2$ 中的任意 $\{\phi_t\}$-不变的可测集 $\Omega$ (即满足 $\phi_t\Omega\subset\Omega$, 是否有

\[
\text{vol}(\Omega)[\text{vol}(S\Sigma^2-\Omega)]=0 ?
\]

设 $\mathbb{R}^k\rightarrow M^{n+k}\rightarrow S^n(1)$ 是 $S^n(1)$ 上的一个向量丛.

问, $M^{n+k}$ 上是否存在具有非负截面曲率的度量?

$S^2\times S^2$ 上是否存在这样的黎曼度量, 使得在该度量下有正的截面曲率?

如何计算 $S^3$ 中单纯形的体积? 一般的, 对于 $S^n$ 呢?

考虑三维球面 $S^3$, $g$ 是上面的一个光滑黎曼度量. 问 $S^3$ 上是否存在无穷多条闭的测地线?

(这里要求这些测地线的像不相同.)

更一般的, 对于紧致光滑黎曼流形 $(M^n,g)$ 提出同样的问题.

记 $S^n=\{(x^1,\ldots,x^{n+1})\in\mathbb{R}^{n+1}\mid \sum_{i=1}^{n+1}(x^i)^2=1\}$, 包含映射 $i:S^n\rightarrow\mathbb{R}^{n+1}$ 是一个嵌入. 试在 $S^n$ 的局部坐标系中把 $i^*g_0$ 表达出来, 此处 $g_0=\sum_{i=1}^{n+1}dx^i\otimes dx^i$ 是 $\mathbb{R}^{n+1}$ 上的标准度量.

Hint:

比较简单的办法是通过变换直接将度量张量计算出来.

另一种比较笨的办法是通过切映射将度量张量计算出来.

令 $U=S^n-\{(0,\ldots,0,-1)\}$, $V=S^n-\{(0,\ldots,0,1)\}$.

考虑球极投影:

\[
\begin{array}{rcl}
\varphi_U:\ U&\rightarrow&\mathbb{R}^n\\
(x^1,\ldots,x^n,x^{n+1})&\mapsto&\Bigl(\frac{x^1}{1+x^{n+1}},\ldots,\frac{x^n}{1+x^{n+1}}\Bigr)=:(u^1,\ldots,u^n)
\end{array}
\]

从而经过计算得到

\[
i^*g_0=\frac{4}{\bigl(1+\sum_{i=1}^{n}(u^i)^2\bigr)^2}\sum_{i=1}^{n}du^i\otimes du^i.
\]

计算 $S^n$, $\mathbb{C}P^n$ 和 $SL_n(\mathbb{R})/SO(n)$ 的曲率.

$i:\ S^n\rightarrow\mathbb{E}^{n+1}$ 是球面 $S^n$ 到欧氏空间 $\mathbb{E}^{n+1}=(\mathbb{R}^{n+1},g_0)$ 的自然嵌入, 其中

\[g_0=\sum_{i=1}^{n+1}dx^i\otimes dx^i\]

是 $\mathbb{R}^{n+1}$ 上的标准度量. 试在 $S^n$ 的局部坐标系中把 $i^* g_0$ 表达出来.