设 $M$ 是 $n$ 维完备黎曼流形, Ricci 曲率有正的下界, 则 $M$ 紧致. 进而, 如记 $Ric_M\geq (n-1)c$, $c>0$. 则其直径的上界估计为

\[d(M)\leq\frac{\pi}{\sqrt{c}}.\]

并且 $M$ 的基本群是有限的.

注: 这是一个经典的定理,

应用此定理的有: [S-X] 中的定理1, 通过复杂又巧妙的运算, 最终由条件推出完备子流形的 Ricci 曲率有正的下界, 从而应用经典的 Bonnet-Myers 定理.
 

References:

伍鸿熙, 沈纯理, 虞言林 著, 黎曼几何初步, 北京大学出版社, 2000年6月. [pp.134 定理8]

[S-X] Shiohama, K. and Xu, H., The topological sphere theorem for complete submanifolds, Compositio Math. 107 (1997), 221 – 232.

标准单位球面 $S^{n+p}(1)$ 中极小子流形的刚性定理.

Thm(Lawson-Simons Theorem) 设 $M$ 是 $S^{n+p}(1)$ 中的一个 $n$ 维可定向紧致极小子流形. 如果 $M$ 的第二基本 $h$ 的平方范数 $S$ 满足

\[S\leq\max\{\frac{n}{2-\frac{1}{p}},\frac{2n}{3}\},\]

则 $M$ is congruent to one of following:

(1) $S^n(1)$;

(2) $S^k(\sqrt{\frac{k}{n}})\times S^{n-k}(\sqrt{\frac{n-k}{n}})$, 对 $k=1,2,\ldots,n-1$;

(3) the Veronese surface in $S^4(1)$.

References:

Shiohama, K. and Xu, H., The topological sphere theorem for complete submanifolds, Compositio Math. 107 (1997), 221 – 232.

由于此结果, Grove-Shiohama 的球面直径定理对于截面曲率以1为下界的完备流形来说是最优的.

References:

Shiohama, K. and Xu, H., The topological sphere theorem for complete submanifolds, Compositio Math. 107 (1997), 221 – 232.

Grove-Shiohama 的球面直径定理

设 $M^n$ 是一个 $n$ 维完备连通的黎曼流形, 截面曲率 $K_M\geq 1$, 若其直径 $d(M)>\frac{\pi}{2}$, 则 $M^n$ 同胚于球面.

References:

Grove, K. and Shiohama, K.: A generalized sphere theorem Ann. of Math. 106 (1977) 201–211.

Kato 不等式

设 $\omega$ 是黎曼流形 $M^n$ 上的一个调和 1-形式, $n=\dim M$. 则

\[\bigl|\nabla|\omega|\bigr|^2\leq\frac{n-1}{n}|\nabla\omega|^2.\]

References:

Xiaodong Wang, On conformally compact Einstein manifolds, Math. Res. Lett. 8 (2001), no. 5-6, 671–688.

David M. J. Calderbank, Paul Gauduchon & Marc Herzlich, On the Kato inequality in Riemannian geometry, Séminaires & Congrès 4, 2000, p.95–113.

Hadamard 流形(也称 Cartan-Hadamard流形), 是指截面曲率非正的完备单连通黎曼流形.

设 $M$ 是完备的黎曼流形, $\dim M=n\geq 2$, $\text{Ric}(M)\geq -(n-1)k$ (这里 $k\geq 0$), $u$ 是 $M$ 上的正调和函数, 则在 $M$ 的任何测地球 $B_a(x)$ 中, 成立

\[\frac{|\nabla u|}{u}\leq C_n\Bigl(\frac{1+a\sqrt{k}}{a}\Bigr),\]

其中 $C_n$ 为仅与 $n$ 有关的常数.

推论1: 一个直接推论是, Ricci曲率非负的完备黎曼流形上不存在非常值的正调和函数. (事实上, 根据假设 $k=0$, 令上述不等式中的 $a\rightarrow+\infty$, 则得到 $\nabla u\equiv 0$.)

推论2: 如果 $u$ 仅是 $M$ 中某个半径为 $a$ 的测地球 $B_a$ 的调和函数(不一定是正的), 则在该测地球中, 也成立类似的估计. 具体的.

\[\sup_{B_{a/2}}|\nabla u|\leq C_n\Bigl(\frac{1+\sqrt{k}a}{a}\Bigr)\sup_{B_a}|u|.\]

推论3: (Harnack 不等式) 设 $M$ 为 $n$ 维完备黎曼流形, $\text{Ric}(M)\geq -(n-1)k$. 如果 $u$ 是测地球 $B_a$ 中的正调和函数, 则

\[\sup_{B_{a/2}}u\leq C(n,a,k)\inf_{B_{a/2}}u,\]

其中 $C(n,a,k)$ 为仅依赖于 $n,a,k$ 的常数.

推论4: 设 $M^n$ 为完备非紧黎曼流形, $\text{Ric}(M)\geq -k,\ (k\geq 0)$, $u$ 是 $M$ 上的正调和函数, 则有

\[\frac{|\nabla u|}{u}\leq C(n,\sqrt{k}).\]

注意这里条件 $\text{Ric}(M)\geq -k\geq -(n-1)k$.

推论5: 设 $M^n$ 为完备黎曼流形, $\text{Ric}(M)\geq -(n-1)k,\ (k\geq 0)$, 如果 $\Delta u=\lambda u$, $u>0$, $\lambda$ 为常数, 则有

\[\frac{|\nabla u|}{u}\leq C(n,\sqrt{k},\lambda),\]

其中 $C(n,\sqrt{k},\lambda)$ 为仅依赖于 $n,k,\lambda$ 的常数.

注: [Yao-Schoen]书中证明P.21,Line.7  $-k(a^2-\rho^2)^2$ 应改为 $-k(n-1)(a^2-\rho^2)^2$.

References:

[Yao-Schoen]丘成桐、孙理察 著 微分几何讲义, 高等教育出版社. 2004年12月.

这是 $\log u$ 梯度估计的直接推论.

References:

丘成桐、孙理察 著 微分几何讲义, 高等教育出版社. 2004

设 $M$ 是完备的黎曼流形, $f\in C^3(M)$, 任取 $p\in M$, $\{x_i\}$ 是 $p$ 点的法坐标系, 则有下面的公式

\[\Delta|\nabla f|^2=2\sum_{i,j}f_{ij}^2+2\sum_{i,j}R_{ij}f_if_j+2\sum_{i}f_i(\Delta f)_i,\]

其中 $f_i$ 是 $f$ 相应于 $\frac{\partial}{\partial x_i}$ 的协变导数, $R_{ij}$ 是 $M$ 的 Ricci 张量.

\[Ric(\nabla f,\nabla f)=\sum_{i,j}R_{ij}f_i f_j\]

由于该等式中含有 Ric 曲率项, 以及函数的梯度, 因此可应用到有关 Ricci 曲率条件的问题中. 比如梯度估计就使用了此等式.

$\text{Ric}\geq k$ 指 $\text{Ric}(v)$ 的特征值均大于等于 $k$. 用 $(0,2)$-型张量的语言, 即指

\[\text{Ric}(v,v)\geq kg(v,v),\quad\forall\ v\in T_p(M), \quad\forall\ p\in M.\]

References:

丘成桐、孙理察 著 微分几何讲义, 高等教育出版社.

在丘成桐和孙理察的著作《微分几何讲义》第16页上提到所谓的Ricci公式,

\[f_{jij}=f_{jji}+R_{ij}f_j\]

其中 $f$ 是完备黎曼流形 $M$ 上的函数, 且 $f\in C^3(M)$. 实际上, 这里提到的 Ricci 公式即 Ricci 恒等式. 也可参见[Li]的第三节.

References:

[C-L]陈维桓、李兴校 著, 黎曼几何引论, 上册 4.5节 Ricci 恒等式.

[Li] Peter Li, Lecture notes on geometric analysis. Lecture Notes Series, 6. Seoul National University, Research Institute of Mathematics, Global Analysis Research Center, Seoul, 1993.