$S$ 为第二基本形式的平方范数: $S:=\sum_{\alpha,i,j}(h_{ij}^\alpha)^2$

这里 $H$ 是 $M$ 的平均曲率

\[H:=\Biggl|\frac{1}{n}\sum_{\alpha,i}h_{ii}^\alpha e_\alpha\Biggr|\]

$K$, $R$ 分别记指 $N$ 和 $M$ 的黎曼曲率张量.

\[R_{ijkl}=K_{ijkl}+\sum_\alpha(h_{ik}^\alpha h_{jl}^\alpha-h_{il}^\alpha h_{jk}^\alpha)\]

$\Phi:=A-HI$ 称为无迹第二基本形式(Traceless second fundamental form)

证明 $|\Phi|^2=|A|^2-nH^2$.

定理(Shiohama & Hongwei Xu)([S-X],Proposition 2)

设 $M^n\subset N^{n+p}$ 是 $N$ 的子流形. 对于 $x\in M$ 的任意标准正交标架, $N$ 的黎曼曲率张量 $K_N$ 满足

\[\sum_i K_{inin}\geq (n-1)c,\]

这里 $c$ 是一常数. 则对任意单位向量 $X\in M_x$, 有

\[\text{Ric}_M(X)\geq\frac{n-1}{n}\biggl[nc+2nH^2-S-\frac{n(n-2)}{\sqrt{n(n-1)}}H(S-nH^2)^{1/2}\biggr]\]

References

[S-X] Shiohama, K. and Xu, H., The topological sphere theorem for complete submanifolds, Compositio Math. 107 (1997), 221 – 232.

定理(Shiohama & Xu)

Katsuhiro Shiohama 和 Hongwei Xu(许宏伟)在[S-X] 中得到了如下结论(见[S-X] Theorem 1).

设 $M\subset N$ 是 $(n+p)$ 维黎曼流形 $N$ 的完备子流形, 且 $K_N\geq c$, 其中 $c$ 是一常数, 满足 $c+H^2>0$. 若 $\Lambda(M)<0$, 则 $M$ 紧致. 并且 $M$ 的基本群有限.

这里 \[\Lambda(M):=\sup_M(S-\alpha(n,H,c))<0,\]

\[\alpha(n,H,c):=nc+\frac{n^3}{2(n-1)}H^2-\frac{n(n-2)}{2(n-1)}\sqrt{n^2 H^4+4(n-1)cH^2}.\]

符号说明

$S$ 为第二基本形式的平方范数: $S:=\sum_{\alpha,i,j}(h_{ij}^\alpha)^2$

这里 $H$ 是 $M$ 的平均曲率

\[H:=\Biggl|\frac{1}{n}\sum_{\alpha,i}h_{ii}^\alpha e_\alpha\Biggr|\]

$K$, $R$ 分别记指 $N$ 和 $M$ 的黎曼曲率张量.

\[R_{ijkl}=K_{ijkl}+\sum_\alpha(h_{ik}^\alpha h_{jl}^\alpha-h_{il}^\alpha h_{jk}^\alpha)\]

证明思路

应用 Bonnet-Myers 定理, 证明 $M$ 的 Ricci 曲率有正的下界. 证明中的计算有相当的技巧. 有的公式值得应用, 如[S-X]中的Proposition 2

References:

[S-X] Shiohama, K. and Xu, H., The topological sphere theorem for complete submanifolds, Compositio Math. 107 (1997), 221 – 232. [pdf]

设 $M$ 是 $n$ 维完备黎曼流形, Ricci 曲率有正的下界, 则 $M$ 紧致. 进而, 如记 $Ric_M\geq (n-1)c$, $c>0$. 则其直径的上界估计为

\[d(M)\leq\frac{\pi}{\sqrt{c}}.\]

并且 $M$ 的基本群是有限的.

注: 这是一个经典的定理,

应用此定理的有: [S-X] 中的定理1, 通过复杂又巧妙的运算, 最终由条件推出完备子流形的 Ricci 曲率有正的下界, 从而应用经典的 Bonnet-Myers 定理.
 

References:

伍鸿熙, 沈纯理, 虞言林 著, 黎曼几何初步, 北京大学出版社, 2000年6月. [pp.134 定理8]

[S-X] Shiohama, K. and Xu, H., The topological sphere theorem for complete submanifolds, Compositio Math. 107 (1997), 221 – 232.

标准单位球面 $S^{n+p}(1)$ 中极小子流形的刚性定理.

Thm(Lawson-Simons Theorem) 设 $M$ 是 $S^{n+p}(1)$ 中的一个 $n$ 维可定向紧致极小子流形. 如果 $M$ 的第二基本 $h$ 的平方范数 $S$ 满足

\[S\leq\max\{\frac{n}{2-\frac{1}{p}},\frac{2n}{3}\},\]

则 $M$ is congruent to one of following:

(1) $S^n(1)$;

(2) $S^k(\sqrt{\frac{k}{n}})\times S^{n-k}(\sqrt{\frac{n-k}{n}})$, 对 $k=1,2,\ldots,n-1$;

(3) the Veronese surface in $S^4(1)$.

References:

Shiohama, K. and Xu, H., The topological sphere theorem for complete submanifolds, Compositio Math. 107 (1997), 221 – 232.

由于此结果, Grove-Shiohama 的球面直径定理对于截面曲率以1为下界的完备流形来说是最优的.

References:

Shiohama, K. and Xu, H., The topological sphere theorem for complete submanifolds, Compositio Math. 107 (1997), 221 – 232.

Grove-Shiohama 的球面直径定理

设 $M^n$ 是一个 $n$ 维完备连通的黎曼流形, 截面曲率 $K_M\geq 1$, 若其直径 $d(M)>\frac{\pi}{2}$, 则 $M^n$ 同胚于球面.

References:

Grove, K. and Shiohama, K.: A generalized sphere theorem Ann. of Math. 106 (1977) 201–211.

Kato 不等式

设 $\omega$ 是黎曼流形 $M^n$ 上的一个调和 1-形式, $n=\dim M$. 则

\[\bigl|\nabla|\omega|\bigr|^2\leq\frac{n-1}{n}|\nabla\omega|^2.\]

References:

Xiaodong Wang, On conformally compact Einstein manifolds, Math. Res. Lett. 8 (2001), no. 5-6, 671–688.

David M. J. Calderbank, Paul Gauduchon & Marc Herzlich, On the Kato inequality in Riemannian geometry, Séminaires & Congrès 4, 2000, p.95–113.

Hadamard 流形(也称 Cartan-Hadamard流形), 是指截面曲率非正的完备单连通黎曼流形.

设 $M$ 是完备的黎曼流形, $\dim M=n\geq 2$, $\text{Ric}(M)\geq -(n-1)k$ (这里 $k\geq 0$), $u$ 是 $M$ 上的正调和函数, 则在 $M$ 的任何测地球 $B_a(x)$ 中, 成立

\[\frac{|\nabla u|}{u}\leq C_n\Bigl(\frac{1+a\sqrt{k}}{a}\Bigr),\]

其中 $C_n$ 为仅与 $n$ 有关的常数.

推论1: 一个直接推论是, Ricci曲率非负的完备黎曼流形上不存在非常值的正调和函数. (事实上, 根据假设 $k=0$, 令上述不等式中的 $a\rightarrow+\infty$, 则得到 $\nabla u\equiv 0$.)

推论2: 如果 $u$ 仅是 $M$ 中某个半径为 $a$ 的测地球 $B_a$ 的调和函数(不一定是正的), 则在该测地球中, 也成立类似的估计. 具体的.

\[\sup_{B_{a/2}}|\nabla u|\leq C_n\Bigl(\frac{1+\sqrt{k}a}{a}\Bigr)\sup_{B_a}|u|.\]

推论3: (Harnack 不等式) 设 $M$ 为 $n$ 维完备黎曼流形, $\text{Ric}(M)\geq -(n-1)k$. 如果 $u$ 是测地球 $B_a$ 中的正调和函数, 则

\[\sup_{B_{a/2}}u\leq C(n,a,k)\inf_{B_{a/2}}u,\]

其中 $C(n,a,k)$ 为仅依赖于 $n,a,k$ 的常数.

推论4: 设 $M^n$ 为完备非紧黎曼流形, $\text{Ric}(M)\geq -k,\ (k\geq 0)$, $u$ 是 $M$ 上的正调和函数, 则有

\[\frac{|\nabla u|}{u}\leq C(n,\sqrt{k}).\]

注意这里条件 $\text{Ric}(M)\geq -k\geq -(n-1)k$.

推论5: 设 $M^n$ 为完备黎曼流形, $\text{Ric}(M)\geq -(n-1)k,\ (k\geq 0)$, 如果 $\Delta u=\lambda u$, $u>0$, $\lambda$ 为常数, 则有

\[\frac{|\nabla u|}{u}\leq C(n,\sqrt{k},\lambda),\]

其中 $C(n,\sqrt{k},\lambda)$ 为仅依赖于 $n,k,\lambda$ 的常数.

注: [Yao-Schoen]书中证明P.21,Line.7  $-k(a^2-\rho^2)^2$ 应改为 $-k(n-1)(a^2-\rho^2)^2$.

References:

[Yao-Schoen]丘成桐、孙理察 著 微分几何讲义, 高等教育出版社. 2004年12月.