问题及解答

设 $V$ 是 $n$-维实向量空间, 其对偶空间为 $V^*$. 对 $V$ 的每个基 $(e_1,\ldots,e_n)$, 对应到 $V^*$ 的基 $(\zeta_1,\ldots,\zeta_n)$.

$A^p(V)$ 是由 $\eta_1\wedge\cdots\wedge\eta_p$ 等张成. $A(V)=\oplus_{p=0}^{n}A^p(V)$.

定义星算子 $*:\ A(V)\rightarrow A(V)$ 为满足下面条件的线性映射

\[
\begin{aligned}
*(1)=\pm\zeta_1\wedge\cdots\wedge\zeta_n,\quad *(\zeta_1\wedge\cdots\wedge\zeta_n)=\pm 1\\
*(\zeta_1\wedge\cdots\wedge\zeta_p)=\pm\zeta_{p+1}\wedge\cdots\wedge\zeta_n.
\end{aligned}
\]

这里的 $+$ 指 $(\zeta_1,\ldots,\zeta_p,\zeta_{p+1},\ldots,\zeta_n)$ 是正定向的, $-$ 指负定向.

因此 $*$ 将 $A^p(V)$ 映到 $A^{n-p}(V)$.

Exer1. 对于 $\omega\in A^p(V)$, 证明 $**\omega=(-1)^{p(n-p)}\omega$.