$n>2$ 维黎曼流形成为 Einstein 流形的充要条件
$n>2$ 维黎曼流形 $(M,g)$ 是 Einstein 流形当且仅当
\[\text{Ric}=\frac{\text{scal}}{n}g.\]
回忆 Einstein 流形的定义, 若存在常数 $k$, 使得 $\text{Ric}(v)=kv$ 或等价的,
\[\text{Ric}(v,w)=kg(v,w),\quad v,w\in T_p M.\]
Answer
$n>2$ 维黎曼流形 $(M,g)$ 是 Einstein 流形当且仅当
\[\text{Ric}=\frac{\text{scal}}{n}g.\]
回忆 Einstein 流形的定义, 若存在常数 $k$, 使得 $\text{Ric}(v)=kv$ 或等价的,
\[\text{Ric}(v,w)=kg(v,w),\quad v,w\in T_p M.\]