Bochner 技巧

伍鸿熙

为了证明一个黎曼流形上某些有趣的对象（如 Killing 向量场, 调和形式, 调和旋量场）为平行的(或消失(为零)), S. Bochner 在他的两篇文章里提出了一种一般意义上的方法, 技巧. 即标题所示. 目前, Bochner 技巧基本上已经成为每一个几何学家的基本词汇.

尽管 Bochner 技巧貌似简单, 但也许给出一个典型的例子作为它的应用来解释 Bochner 技巧更好一些. 在 Bochner 的 [B1] 中: 有这样一个定理:

一个紧致的具有负 Ricci 曲率的 Riemann 流形无非零的 Killing 向量场.

(证明大致如下, 更详细的可见 \S 3)

Pf. 设 $X$ 是 $M$ 上的 Killing 向量场, 我们须证明 $X\equiv 0$.

由 Killing 向量场的定义、性质知

\[
\Delta(\frac{1}{2}|X|^2)=\sum_i\bigl|D_{V_i}X\bigr|^2-\mathrm{Ric}(X,X)\tag{0.1}
\]

这里 $\Delta$ 是 Laplace 算子, $|\cdot|$ 是 Riemann 范数, $\{V_i\}$ 是任意的局部定义的正交标架场. $\mathrm{Ric}$ 指 Ricci 张量.

要得到所需结论, 有以下两种方法:

(I) 由假设 $\mathrm{Ric}(X,X)\leqslant 0$, 则由 (0.1) 知 $\Delta(|X|^2)\geqslant 0$. 由极大值原理, 次调和函数 $|X|^2$ 在紧流形 $M$ 上必为常数.  所以, $\Delta(|X|^2)\equiv 0$. 再由 (0.1) 推出 $\mathrm{Ric}(X,X)\equiv 0$. 又由题设 $\mathrm{Ric}$ 是负定的, 故 $X\equiv 0$.

(II) 将 (0.1) 式在 $M$ 上积分, 则

\[
\int_M\sum_i\|D_{V_i}X\|^2-\int_M\mathrm{Ric}(X,X)=0.
\]

由 Green-Stokes 定理, $\int_M\Delta(\frac{1}{2}|X|^2)=0$, 从而

\[
0\leqslant\int_M\sum_i\|D_{V_i}X\|^2=\int_M\mathrm{Ric}(X,X)\leqslant 0.
\]

此推出 $\int_M\mathrm{Ric}(X,X)=0$, 由于 $\mathrm{Ric}(X,X)$ 在 $M$ 上是点点非正的, 故而 $\mathrm{Ric}(X,X)\equiv 0$. 由于 $\mathrm{Ric}$ 张量是负定的, 故 $X\equiv 0$.

小结

上述要点主要是构造一个适当的函数, 我们要证明它为0. 如上面的 $\frac{1}{2}|X|^2$. 然后用一个椭圆算子作用它(e.g. $\Delta$). 然后结合曲率的假设以及极大值原理或一些积分公式来导出我们需要的结论. 这大致就是 Bochner 技巧.

本文的主要目标