具有非正截面曲率的维数 $n\geqslant 2$ 的完备黎曼流形 $M$, 实际上是某个Hadamard 流形在一个自由作用的正则离散群作用下的商流形, 即 $M=\widetilde{M}/\Gamma$。 这里的覆盖空间 $\widetilde{M}$ 可以被在无穷远处的点“紧化”，不妨记 $\widetilde{M}(\infty)$ 为 $\widetilde{M}$ 的所有无穷远点的集合.
这里 $\widetilde{M}$ 微分同胚于 $\mathbb{R}^n$, 而 $\widetilde{M}(\infty)$ 同胚于 $S^{n-1}$. 若 $\tilde{\sigma}$ 是 $\widetilde{M}$ 上的一个等距同构, 则这个映射可以延拓为 $\widetilde{M}\cup\widetilde{M}(\infty)$ 上的一个同胚, 我们仍然记为 $\tilde{\sigma}$.
轨道 $\Gamma(q)=\{\gamma(q)\mid \gamma\in\Gamma\}$ 在 $\widetilde{M}(\infty)$ 中的聚点(accumulation points)集合与点 $q\in\widetilde{M}(\infty)$ 的选取无关, 我们将它称之为 $\Gamma$ 的极限集 $L(\Gamma)$.
Hadamard 流形 $\widetilde{M}$ 上的所有等距映射构成的集合可以利用位移函数来分类.
若 $\tilde{\sigma}$ 是 $\widetilde{M}$ 上的一个等距映射, 则凸函数 $\tilde{f}_{\tilde{\sigma}}(x)=\tilde{d}(\tilde{x},\tilde{\sigma}(\tilde{x}))$ 被称为 $\tilde{\sigma}$ 的位移函数. (这里 $\tilde{d}(\cdot,\cdot)$ 是 $\widetilde{M}$ 上的距离函数.)
等距同构 $\tilde{\sigma}$ 被称为椭圆的(elliptic)、双曲的(hyperbolic)或抛物的(parabolic), 若 $\tilde{f}_{\tilde{\sigma}}$ 分别满足: (1) 极小值为 0; (2) 极小值是正的; (3) 没有极小值.
现在假设 $x\in M$, $\tilde{x}\in p^{-1}(x)$. $\varphi$ 是完备非正截面曲率流形 $M=\widetilde{M}/\Gamma$ 上的一个同伦于恒同映射id 的一个等距映射. 假设这个同伦映射为 $h_t: M\rightarrow M$, 其中 $h_0=id_{M}$, $h_1=\varphi$.
定义 $\tilde{h}_t:\ \widetilde{M}\rightarrow\widetilde{M}$ 为 $h_t$ 的在 $\widetilde{M}$ 上满足 $\tilde{h}_0=id_{\widetilde{M}}$ 的唯一提升. 则 $\widetilde{\varphi}=\tilde{h}_1$ 与每个复叠变换(deck transformation) 都可交换.
定义 $f_{\varphi}: M\rightarrow\mathbb{R}$ 为 $f_{\varphi}(x)$ 为连接 $x$ 到 $\varphi(x)$ 的在曲线 $t\mapsto h_t(x)$ 的同伦类中的唯一的测地线段的长度.
任意给定一点 $\tilde{x}\in p^{-1}(x)$, 这里 $p$ 是覆盖映射(复叠映射), 上面的测地线段提升为 $\widetilde{M}$ 中从 $\tilde{x}$ 出发的一条测地线段, 且其长度是 $\tilde{f}_{\tilde{\varphi}}(\tilde{x})$.
由于 $\tilde{\varphi}$ 与每个复叠变换可交换, 故推出 $\tilde{f}_{\tilde{\varphi}}(\tilde{x})=f_{\varphi}(x)$, 对任意点 $\tilde{x}\in p^{-1}(x)$. 因此, $f_{\varphi}$ 是凸函数, 且 $\tilde{f}_{\tilde{\varphi}}$ 的水平集(level set) 通过覆盖映射 $p$ 投射为 $f_{\varphi}$ 的水平集.
于是可以将等距同构 $\varphi$ 进行分类. 针对 $f_{\varphi}$ 满足 (1) 具有最小值 0; (2) 具有正的最小值; (3) 没有最小值, 分别称之为椭圆的(elliptic)、双曲的(hyperbolic)的或抛物的(parabolic).
从而 $\widetilde{\varphi}$ 的分类情形与 $\varphi$ 的分类情形是一致的.
References:
Douglas A. Norris, Isometries Homotopic to the Identity, Proceedings of the American Mathematical Society, Volume 105, Number 3, March 1989. [pdf]
