问题及解答

Jacobi 场(Jacobi field) 是用于描述测地线在无穷小邻域中的性态的, 或者说是用于度量某一测地线其变分的变化情况的.

定义: 设 $\gamma$ 是流形 $M$ 上的一条测地线, $J$ 是沿 $\gamma(t)$ 的切向量场(因为是度量测地线 $\gamma$ 在附近的变化情况, 因此必定是切向量场). 称 $J$ 是沿 $\gamma$ 的 Jacobi 场, 如果 $J(t)$ 满足

\[
\frac{D^2}{dt}J(t)+R(J(t),\dot{\gamma}(t))\dot{\gamma}(t)=0.
\]

这里 $D$ 是关于 Levi-Civita 联络的协变导数, $R$ 是曲率算子.

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_field