问题及解答

Milnor 在 1968 年猜测任意一个开的 $n$ 维流形, 若 $\mathrm{Ric}_M\geqslant 0$, 则其基本群是有限生成的.

Thm. (Peter Li, Anderson 1980) 对于黎曼流形 $(M^n,g)$, 若 $\mathrm{Ric}\geqslant 0$ 且 $\mathrm{Vol}(B_r(p))\sim r^n$, 即半径为 $r$ 的球体积关于半径的增长速度是最快的(with max volume growth), 则 $\pi_1(M^n)$ 是有限生成的.

Remark: 体积增长得最快的如 hyperbola; 体积增长的最慢的如圆柱(cylinder): $\mathrm{Vol}(B_r(p))\sim r$.