证明:

\[
\begin{cases}
u=x+\sin y,\\
v=y-\frac{1}{2}\sin x
\end{cases}
\]

定义了平面上的一个正则坐标系.

回忆 $\mathbb{R}^n$ 中某个域 $C$ 上的一个正则坐标系(regular coordinate system)是指一个光滑函数组

\[
\begin{cases}
x^1=x^1(y^1,\ldots,y^n)\\
\vdots\\
x^n=x^n(y^1,\ldots,y^n)\\
\end{cases}
\]

其在每一点的 Jacobi 行列式都非零.

因此, 平面上的极坐标系并不是整个 $\mathbb{R}^2$ 上的正则的坐标系.

References:

Exercise 1.1 in the following book.

A.T.Fomeko and A.S.Mishchenko, A short course in differential geometry and topology.

\[
\kappa^2\biggl(\frac{\dot{\kappa}}{\kappa}-\frac{\dot{\tau}}{\tau}\biggr)\dot{c}+\biggl(\kappa^2+\tau^2+\frac{\dot{\kappa}\dot{\tau}}{\kappa\tau}+\frac{2{\dot{\kappa}}^2-\kappa\ddot{\kappa}}{\kappa^2}\biggr)\ddot{c}-\biggl(2\frac{\dot{\kappa}}{\kappa}+\frac{\dot{\tau}}{\tau}\biggr)\dddot{c}+c^{(4)}=0
\]

假设 $c:I\rightarrow\mathbb{R}^3$ 是一以弧长为参数的空间曲线. 设 $s_0\in I$. 则有

\[
\begin{split}
c(s)-c(s_0)&=\biggl((s-s_0)-\frac{(s-s_0)^3}{6}\kappa^2(s_0)\biggr)e_1(s_0)\\
&\quad+\biggl(\frac{(s-s_0)^2}{2}\kappa(s_0)+\frac{(s-s_0)^3}{6}\dot{\kappa}(s_0)\biggr)e_2(s_0)\\
&\qquad+\biggl(\frac{(s-s_0)^3}{6}\kappa(s_0)\tau(s_0)\biggr)e_3(s_0)+o((s-s_0)^3).
\end{split}
\]

动画演示

http://math.kn.dendai.ac.jp/HomePageFiles/GraphicsGallery/SpaceCurves.files/dgBouquetFormulaAnim.html

曲线 $\Gamma:\ \gamma=\gamma(t)$ 的球面标线是指由曲线的切向量、主法线向量和副法线向量的末端点形成的这三种曲线, 由于它们均是单位向量, 故都位于单位球面上. 若 $s$ 是曲线 $\gamma$ 的弧长参数, 则它们是

切线球面标线 $\Gamma_1:\ \gamma_1=\vec{v}(s)=e_1(s)=\dot{\gamma}(s)$.

主法线球面标线 $\Gamma_2:\ \gamma_2=\vec{n}(s)=e_2(s)=\frac{\ddot{\gamma}(s)}{|\ddot{\gamma}(s)|}$.

副法线球面标线 $\Gamma_3:\ \gamma_3=\vec{b}(s)=e_3(s)=\frac{\dot{\gamma}(s)\times\ddot{\gamma}(s)}{|\ddot{\gamma}(s)|}$.

若 $s_1,s_2,s_3$ 分别记指 $\gamma_1$, $\gamma_2$, $\gamma_1$ 的弧长参数, 则有

\[ds_1=\kappa(s)ds,\quad ds_2=\sqrt{\kappa^2(s)+\tau^2(s)}ds,\quad ds_3=|\tau(s)|ds.\]

这三条曲线的曲率分别是

\[\kappa_1=\sqrt{1+(\frac{\tau}{\kappa})^2},\quad\kappa_2=\sqrt{1+\frac{(\kappa\dot{\tau}-\dot{\kappa}\tau)^2}{(\kappa^2+\tau^2)^3}},\quad\kappa_3=\sqrt{1+(\frac{\kappa}{\tau})^2}.\]

挠率分别是

\[\tau_1=\frac{\kappa\dot{\tau}-\dot{\kappa}\tau}{\kappa(\kappa^2+\tau^2)},\]

\[\tau_2=\frac{(\kappa^2+\tau^2)\frac{d}{ds}(\kappa\dot{\tau}-\dot{\kappa}\tau)-\frac{3}{2}(\kappa\dot{\tau}-\dot{\kappa}\tau)\frac{d}{ds}(\kappa^2+\tau^2)}{(\kappa^2+\tau^2)^3+(\kappa\dot{\tau}-\dot{\kappa}\tau)^2},\]

\[\tau_3=\frac{\kappa\dot{\tau}-\dot{\kappa}\tau}{\tau(\kappa^2+\tau^2)}.\]

若曲线 $\vec{\gamma}(s)$ 每点处的法平面都经过固定点 $x_0$, 证明该曲线位于以 $x_0$ 为中心的某个球面上.

证明: 曲线 $\vec{\gamma}=\vec{\gamma}(s)$ 的曲率和挠率成比例(即, $\kappa=c\tau$), 当且仅当存在某个非零常向量 $\vec{u}$, 使得 $\langle\vec{u},\vec{v}\rangle\equiv\text{const}\neq 0$.

求解方程 $\frac{d\vec{\gamma}}{dt}=[\omega,\vec{\gamma}]$, 其中 $\vec{\gamma}=\vec{\gamma}(t)$ 是空间曲线, $\omega$ 是某个常向量.

(这里 $[\omega,\vec{\gamma}]$ 指 $\omega\times\vec{\gamma}$.)

证明: Serret 公式可以表示为

\[\dot{\vec{v}}=[\xi,\vec{v}],\quad\dot{\vec{n}}=[\xi,\vec{n}],\quad\dot{\vec{b}}=[\xi,\vec{b}].\]

其中 $\xi$ 是某个向量. 被称为达布向量(Darboux vector). 求此向量.

这里 $[\xi,\vec{v}]$ 等指的是叉积, 即 $\xi\times\vec{v}$. 通过曲线上的点 $r(s)$, 并且平行于达布向量的直线

\[L_{\xi}:\ \rho=r+\lambda\xi,\quad(-\infty < \lambda < +\infty)\]

称为曲线在这点的瞬时转轴.

假设 $\gamma(t)$ 是一条平面曲线. $\ell_1$ 是该曲线在某一点 $t_0$ 处的切线. $\ell$ 与 $\ell_1$ 平行, 并相距 $h$. 假设 $\ell$ 与曲线 $\gamma$ 所围区域的面积有限, 记为 $S$. 请用曲线的曲率来表示 $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{S^2}{h^3}$.

求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 在点 $(a,0)$, $(0,b)$ 处的曲率. 这里不妨设 $a,b$ 均大于零.