证明: Serret 公式可以表示为
\[\dot{\vec{v}}=[\xi,\vec{v}],\quad\dot{\vec{n}}=[\xi,\vec{n}],\quad\dot{\vec{b}}=[\xi,\vec{b}].\]
其中 $\xi$ 是某个向量. 被称为达布向量(Darboux vector). 求此向量.
这里 $[\xi,\vec{v}]$ 等指的是叉积, 即 $\xi\times\vec{v}$. 通过曲线上的点 $r(s)$, 并且平行于达布向量的直线
\[L_{\xi}:\ \rho=r+\lambda\xi,\quad(-\infty < \lambda < +\infty)\]
称为曲线在这点的瞬时转轴.
1
回忆 Frenet 方程
\[\dot{e}_i(t)=\sum_{j}\omega_{ij}e_j(t),\]
注意这里的 $t$ 不管是一般参数还是弧长参数均成立. 特别地, 对于 $\mathbb{E}^3$ 中的曲线 $c(s)$, 我们不妨设以弧长为参数. 则有
\[
\begin{pmatrix}
\dot{e}_1(s)\\
\dot{e}_2(s)\\
\dot{e}_3(s)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & \kappa(s) & 0\\
-\kappa(s) & 0 & \tau(s)\\
0 & -\tau(s) & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e_1(s)\\
e_2(s)\\
e_3(s)
\end{pmatrix}
\]
我们一般用 $e_1(s),e_2(s),e_3(s)$ 来代替 $\vec{v}(s),\vec{n}(s),\vec{b}(s)$. 这样的做法是有利于对一般性的研究, 而不局限于三维欧氏空间.
假设有这样的向量 $\xi$, 满足
\[\dot{e_1}(s)=\xi\times e_1(s),\quad\dot{e_2}(s)=\xi\times e_2(s),\quad\dot{e_3}(s)=\xi\times e_3(s),\]
则推出
\[
\begin{aligned}
\xi\times e_1(s)&=\kappa(s)e_2(s),\\
\xi\times e_2(s)&=-\kappa(s)e_1(s)+\tau(s)e_3(s),\\
\xi\times e_3(s)&=-\tau(s)e_2(s).
\end{aligned}
\]
这说明 $\xi\perp e_2(s)$, 因此可设 $\xi=\alpha e_1(s)+\beta e_3(s)$, 代入上面的三式, 得
\[
\begin{aligned}
(\alpha e_1(s)+\beta e_3(s))\times e_1(s)&=\kappa(s)e_2(s),\\
(\alpha e_1(s)+\beta e_3(s))\times e_2(s)&=-\kappa(s)e_1(s)+\tau(s)e_3(s),\\
(\alpha e_1(s)+\beta e_3(s))\times e_3(s)&=-\tau(s)e_2(s).
\end{aligned}
\]
化解为
\[
\begin{aligned}
\beta e_2(s)&=\kappa(s)e_2(s),\\
\alpha e_3(s)-\beta e_1(s)&=-\kappa(s)e_1(s)+\tau(s)e_3(s),\\
-\alpha e_2(s)&=-\tau(s)e_2(s).
\end{aligned}
\]
解得
\[\alpha=\tau(s),\qquad\beta=\kappa(s).\]
因此这样的向量 $\xi$ 确实存在, 并且等于
\[\tau(s)e_1(s)+\kappa(s)e_3(s).\]
2
如果使用的是一般参数 $t$, Frenet 方程仍形如
\[\dot{e}_i(t)=\sum_{j}\omega_{ij}e_j(t),\]
特别地, 对于 $\mathbb{E}^3$ 中的曲线, 有
\[
\begin{pmatrix}
\dot{e}_1(t)\\
\dot{e}_2(t)\\
\dot{e}_3(t)
\end{pmatrix}=|\dot{c}(t)|
\begin{pmatrix}
0 & \kappa(t) & 0\\
-\kappa(t) & 0 & \tau(t)\\
0 & -\tau(t) & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
e_1(t)\\
e_2(t)\\
e_3(t)
\end{pmatrix}
\]
我们一般用 $e_1(t),e_2(t),e_3(t)$ 来代替 $\vec{v}(t),\vec{n}(t),\vec{b}(t)$.
假设有这样的向量 $\xi$, 满足
\[\dot{e_1}(t)=\xi\times e_1(t),\quad\dot{e_2}(t)=\xi\times e_2(t),\quad\dot{e_3}(t)=\xi\times e_3(t),\]
则推出
\[
\begin{aligned}
\xi\times e_1(t)&=|\dot{c}(t)|\kappa(t)e_2(t),\\
\xi\times e_2(t)&=|\dot{c}(t)|\bigl(-\kappa(t)e_1(t)+\tau(t)e_3(t)\bigr),\\
\xi\times e_3(t)&=-|\dot{c}(t)|\tau(t)e_2(t).
\end{aligned}
\]
这说明 $\xi\perp e_2(t)$, 因此可设 $\xi=\alpha e_1(t)+\beta e_3(t)$, 代入上面的三式, 得
\[
\begin{aligned}
(\alpha e_1(t)+\beta e_3(t))\times e_1(t)&=|\dot{c}(t)|\kappa(t)e_2(t),\\
(\alpha e_1(t)+\beta e_3(t))\times e_2(t)&=|\dot{c}(t)|\bigl(-\kappa(t)e_1(t)+\tau(t)e_3(t)\bigr),\\
(\alpha e_1(t)+\beta e_3(t))\times e_3(t)&=-|\dot{c}(t)|\tau(t)e_2(t).
\end{aligned}
\]
化解为
\[
\begin{aligned}
\beta e_2(t)&=|\dot{c}(t)|\kappa(t)e_2(t),\\
\alpha e_3(t)-\beta e_1(t)&=|\dot{c}(t)|\bigl(-\kappa(t)e_1(t)+\tau(t)e_3(t)\bigr),\\
-\alpha e_2(t)&=-|\dot{c}(t)|\tau(t)e_2(t).
\end{aligned}
\]
解得
\[\alpha=|\dot{c}(t)|\tau(t),\qquad\beta=|\dot{c}(t)|\kappa(t).\]
因此这样的向量 $\xi$ 确实存在, 并且等于
\[|\dot{c}(t)|\bigl(\tau(t)e_1(t)+\kappa(t)e_3(t)\bigr).\]
3
从上面两个解答来看, 使用不同的参数, 导致所得的达布向量 $\xi$ 不同.
注意到 $\kappa(s)=\kappa(t)$, $\tau(s)=\tau(t)$, 并且 $e_i(s)=e_i(t)$, $i=1,2,3$. (参见问题724的答案5)
因此上面所得达布向量之间的关系为
\[\xi(t)=|\dot{c}(t)|(\tau(t)e_1(t)+\kappa(t)e_3(t))=|\dot{c}(t)|(\tau(s)e_1(s)+\kappa(s)e_3(s))=|\dot{c}(t)|\xi(s),\]
即有
\[\xi(s)=\frac{\xi(t)}{|\dot{c}(t)|}.\]
差异的来源是方程组对何参数求导.