问题及解答

求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 在点 $(a,0)$, $(0,b)$ 处的曲率. 这里不妨设 $a,b$ 均大于零.

椭圆的参数方程为

\[c(t)=(a\cos t,b\sin t,0),\quad t\in [0,2\pi].\]

\[
\begin{aligned}
\dot{c}(t)&=(-a\sin t,b\cos t,0),\\
\ddot{c}(t)&=(-a\cos t,-b\sin t,0),\\
\dddot{c}(t)&=(a\sin t,-b\cos t,0),\\
\end{aligned}
\]

\[
\begin{split}
\dot{c}(t)\times\ddot{c}(t)&=
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
-a\sin t & b\cos t & 0\\
-a\cos t & -b\sin t & 0
\end{vmatrix}\\
&=0\vec{i}+0\vec{j}+ab\vec{k}\\
&=(0,0,ab),
\end{split}
\]

因此曲率为

\[
\begin{split}
\kappa(t)&=\frac{|\dot{c}(t)\times\ddot{c}(t)|}{|\dot{c}(t)|^3}\\
&=\frac{ab}{(\sqrt{a^2\sin^2 t+b^2\cos^2 t})^3}.\\
\end{split}
\]

$(a,0)$ 点对应于参数 $t=0$, $(0,b)$ 点对应于参数 $t=\frac{\pi}{2}$, 故这两点处的曲率分别为

\[\kappa|_{(a,0)}=\kappa(0)=\frac{a}{b^2},\qquad\kappa|_{(0,b)}=\kappa(\frac{\pi}{2})=\frac{b}{a^2}.\]

Remark:

若 $a > b$, 则这两点处的曲率满足

\[\kappa|_{(0,b)} < \frac{1}{b} < \kappa|_{(a,0)}.\]

(由于曲线为平面曲线, 因此挠率处处为零.)