1.  求抛物线 $y=4x-x^2$ 在其顶点处的曲率.

Note: 抛物线顶点处的曲率是最大的, 或者曲率半径是最小的.

测地曲率(geodesic curvature)、法曲率(normal curvature)、测地挠率(geodesic torsion, or relative torsion)

假设 $\gamma(s)$ 是 3 维欧式空间中的一条可微曲线, $s$ 是弧长参数. 定义 $T(s)=\dot{\gamma}(s)$, $u(s)$ 是单位法向量. 令 $t(s)=u(s)\times T(s)$. (注意, 这里不是 $T(s)\times u(s)$.) 

另一方面, 我们考虑活动标架. 首先同样的 $T(s)=\dot{\gamma}(s)$, 然后令 $N(s):=\frac{\dot{T}(s)}{|\dot{T}(s)|}$, 令 $B(s)=T(s)\times N(s)$.

由于两个切向量是一样的, 因此 $(N,B)$ 与 $(t, u)$ 之间存在唯一的角度 $\alpha$, 使得 $(N,B)$ 逆时针旋转 $\alpha$ 就得到了 $(t, u)$. 即

\[
\begin{pmatrix} T\\ t\\ u\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos\alpha & \sin\alpha\\
0 & -\sin\alpha & \cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} T\\ N\\ B\end{pmatrix}
\]

然后两边对 $s$ 微分, 得

\[
d\begin{pmatrix} T\\ t\\ u\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & -\sin\alpha & \cos\alpha\\
0 & -\cos\alpha & -\sin\alpha
\end{pmatrix}d\alpha\cdot
\begin{pmatrix} T\\ N\\ B\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos\alpha & \sin\alpha\\
0 & -\sin\alpha & \cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}dT\\ dN\\ dB\end{pmatrix}
\]

利用如下的 Frenet-Serret 公式

\[
\begin{pmatrix}\dot{T}(s)\\ \dot{N}(s)\\ \dot{B}(s)\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & \kappa & 0\\
-\kappa & 0 & \kappa\\
0 & -\tau & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}T\\ N\\ B\end{pmatrix}
\]

且注意到

\[
\begin{pmatrix} T\\ N\\ B\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos\alpha & -\sin\alpha\\
0 & \sin\alpha & \cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} T\\ t\\ u\end{pmatrix}
\]

最终计算可得

\[
d\begin{pmatrix} T\\ t\\ u\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & \kappa\cos\alpha ds & -\kappa\sin\alpha ds\\
-\kappa\cos\alpha ds & 0 & \tau ds+d\alpha\\
\kappa\sin\alpha ds & -\tau ds-d\alpha & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} T\\ t\\ u\end{pmatrix}
\]

令 $\kappa_g:=\kappa\cos\alpha$, $\kappa_n:=-\kappa\sin\alpha$, $\tau_{\gamma}:=\tau+\dot{\alpha}(s)$, 分别称为测地曲率(geodesic curvature)、法曲率(normal curvature)、测地挠率(geodesic torsion, or relative torsion).

则有

\[
d\begin{pmatrix} T\\ t\\ u\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & \kappa_g ds & \kappa_n ds\\
-\kappa_g ds & 0 & \tau_{\gamma}ds\\
-\kappa_n ds & -\tau_{\gamma}ds & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} T\\ t\\ u\end{pmatrix}
\]

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Darboux_frame#Geodesic_curvature.2C_normal_curvature.2C_and_relative_torsion

设 $\Gamma$ 是三维欧氏空间中一张平面上的一条抛物线, $\ell$ 是 $\Gamma$ 的准线. 将 $\Gamma$ 绕其准线 $\ell$ 旋转一周, 得到旋转曲面 $\Sigma$.

求 $\Sigma$ 的两个主曲率的比值.

考虑平面上所有单连通的区域, 其边界具有固定的长度 $L$, 边界是可以变动的. 则当边界是圆时具有最大的面积.

用数学语言表述如下:

设 $\Omega$ 是平面上的一个单连通区域, 其边界 $\partial\Omega$ 的周长是 $L$, 面积为 $A$, 则有下面的不等式

\[
A\leqslant\frac{L^2}{4\pi}.
\]

Carleman 证明了这个不等式对于极小曲面的每个单连通的 rectifiable piece 都成立.  Beckenbach and Rado 证明了等周不等式对于任意Gauss曲率非正的曲面的每个单连通的 rectifiable piece 都成立. 并且反过来, 如果曲面的每个单连通小片满足等周不等式, 则曲面的 Gauss 曲率 $K\leqslant 0$.

References:

E. F. Beckenbach and T. Rado, Subharmonic functions and surfaces of negative curvature. Trans. Amer. Math. Soc. 35 (1933), 662–674.

T. Carleman, Zur Theorie der Minimalflächen, Mathematische Zeitschrift, vol.9(1921), pp. 154-160.

给定一曲面 $\vec{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$, 设 $K$ 是曲面的 Gauss 曲率, $E,F,G$ 是曲面的第一基本量. 令 $W^2=EG-F^2$, 则有下面的公式

\[
W^4K=
\begin{vmatrix}
(-\frac{1}{2}G_{uu}+F_{uv}-\frac{1}{2}E_{vv}) & \frac{1}{2}E_u & (F_u-\frac{1}{2}E_v)\\
(F_v-\frac{1}{2}G_u) & E & F\\
\frac{1}{2}G_v & F & G\\
\end{vmatrix}-
\begin{vmatrix}
0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\
\frac{1}{2}E_v & E & F\\
\frac{1}{2}G_u & F & G\\
\end{vmatrix}
\]

这里总假设 $EG-F^2>0$.

特别的, 当 $E=G$, $F=0$ 时, 若令 $E=G=\lambda(u,v)$, 则上述方程等价于

\[
K=\frac{1}{2\lambda^3}(\lambda_u^2+\lambda_v^2-\lambda\Delta\lambda),
\]

其中

\[
\Delta=\frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}.
\]

由于

\[
\Delta\log\lambda=\frac{\lambda\Delta\lambda-(\lambda_u^2+\lambda_v^2)}{\lambda^2},
\]

因此,

\[
K=-\frac{1}{2\lambda}\Delta\log\lambda.
\]

因此, 曲面上 Gauss 曲率 $K\leqslant 0$ 当且仅当 $\Delta\log\lambda\geqslant 0$. 如果用 F. Riesz 的术语, 若 $\log\lambda$ 是次调和的(subharmonic), 则 $K\leqslant 0$.

次调和函数与负曲率曲面之间的关系暗示了次调和函数理论在几何上的应用. 另一方面, 几何解释提出了与次调和函数相关的问题.

References:

E. F. Beckenbach and T. Rado, Subharmonic functions and surfaces of negative curvature. Trans. Amer. Math. Soc. 35 (1933), 662–674.

(圆形)螺旋面是指边界是一螺旋线的极小曲面. Catalan 1842 年, do Carmo 1986 年 证明了它是除平面之外的仅有的直纹最小曲面(ruled minimal surface). 很多年来, 螺旋面一直是所知的具有有限拓扑和无穷曲率的完备嵌入极小曲面的仅有例子. 但在1992年, 人们知道了第二个例子(Sci. News 1992), 就是 Hoffman 的极小曲面, 它由带孔的螺旋面组成.

 The helicoid is the only non-rotary surface which can glide along itself (Steinhaus 1999, p. 231).

螺旋面在 z 轴方向的方程是  $z=c\theta$, 在平面直角坐标系下的方程是

\[\frac{y}{x}=\tan\frac{z}{c}=\tan\theta.\]

或者使用参数方程

\[
\begin{cases}
x=u\cos v\\
y=u\sin v\\
z=cv
\end{cases}
\]

计算其第一、第二基本形式，给出其面积元，求 Gauss 曲率.

如果将 $z=cv$ 改为 $z=-cv$, 则得到了锥面(cone)而不是螺旋面.

（圆形）螺旋面的方程显然可以推广到椭圆形螺旋面, 方程是

\[
\begin{cases}
x(u,v)=av\cos u\\
y(u,v)=bv\sin u\\
z(u,v)=cu
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x&=r_0[\cos(\theta+\phi)+\phi\sin(\theta+\phi)],\\
y&=r_0[\sin(\theta+\phi)-\phi\cos(\theta+\phi)],\\
z&=b\theta,
\end{cases}
\]

参考文献:

http://mathworld.wolfram.com/Helicoid.html

构造一条有某个尖点的光滑曲线, 并且尖点处的 break angle 是 $\pi$. 写出其参数方程. 并问, 该曲线能否用解析函数 $(x(t),y(t))$ 表出?
 

设 $\gamma:\ I\rightarrow\mathbb{R}^3$ 是三维空间中的一条曲线. 取点 $a_i=\gamma(t_i)$, $0=t_0 < t_1 < \ldots < t_n=1$. 按顺序用直线段连接这些点, 每个直线段记为 $\overline{a_i a_{i+1}}$. 得到折线, 记为 $\hat{\gamma}$. 令这些直线段长度的最大值为 $\lambda$, 证明

\[
\text{length}(\gamma)=\lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{i=0}^{n-1}\text{length}(\overline{a_i a_{i+1}}).
\]

平面 $\mathbb{R}^2$ 上的 Laplace 方程如下:

\[
\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}.
\]

将它写成极坐标的形式. 

即, 若 $u=f(x,y)\in C^2$, 在极坐标变换 $x=\rho\cos\theta$, $y=\rho\sin\theta$ 下, 二维拉普拉斯方程为

\[
\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial\rho^2}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u}{\partial\rho}+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 u}{\partial\theta^2}.
\]

欧氏空间到自身的映射 $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$, 若其 Jacobi 行列式满足

\[
0 < \varepsilon\leq J(f)\leq N < \infty
\]

这里 $\varepsilon$ 和 $N$ 是正的常数.

问: $f$ 是否是一一映射?

例如: 设 $z=x_1+ix_2$, 令 $w=f(z)=x_1+ix_2^2$. 或者用下面的方程组来表示

\[
\begin{cases}
x_1(y)&=y_1^2-y_2^2\\
x_2(y)&=2y_1 y_2
\end{cases}
\]

易见 $J(f)=4(y_1^2+y_2^2)$. 对于不含原点的区域, Jacobi 行列式均为正. 但当区域中的点趋向于原点时, $J(f)$ 趋向于零. 这个映射也不是一一的.