问题及解答

测地曲率(geodesic curvature)、法曲率(normal curvature)、测地挠率(geodesic torsion, or relative torsion)

假设 $\gamma(s)$ 是 3 维欧式空间中的一条可微曲线, $s$ 是弧长参数. 定义 $T(s)=\dot{\gamma}(s)$, $u(s)$ 是单位法向量. 令 $t(s)=u(s)\times T(s)$. (注意, 这里不是 $T(s)\times u(s)$.) 

另一方面, 我们考虑活动标架. 首先同样的 $T(s)=\dot{\gamma}(s)$, 然后令 $N(s):=\frac{\dot{T}(s)}{|\dot{T}(s)|}$, 令 $B(s)=T(s)\times N(s)$.

由于两个切向量是一样的, 因此 $(N,B)$ 与 $(t, u)$ 之间存在唯一的角度 $\alpha$, 使得 $(N,B)$ 逆时针旋转 $\alpha$ 就得到了 $(t, u)$. 即

\[
\begin{pmatrix} T\\ t\\ u\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos\alpha & \sin\alpha\\
0 & -\sin\alpha & \cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} T\\ N\\ B\end{pmatrix}
\]

然后两边对 $s$ 微分, 得

\[
d\begin{pmatrix} T\\ t\\ u\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & -\sin\alpha & \cos\alpha\\
0 & -\cos\alpha & -\sin\alpha
\end{pmatrix}d\alpha\cdot
\begin{pmatrix} T\\ N\\ B\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos\alpha & \sin\alpha\\
0 & -\sin\alpha & \cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}dT\\ dN\\ dB\end{pmatrix}
\]

利用如下的 Frenet-Serret 公式

\[
\begin{pmatrix}\dot{T}(s)\\ \dot{N}(s)\\ \dot{B}(s)\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & \kappa & 0\\
-\kappa & 0 & \kappa\\
0 & -\tau & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}T\\ N\\ B\end{pmatrix}
\]

且注意到

\[
\begin{pmatrix} T\\ N\\ B\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos\alpha & -\sin\alpha\\
0 & \sin\alpha & \cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} T\\ t\\ u\end{pmatrix}
\]

最终计算可得

\[
d\begin{pmatrix} T\\ t\\ u\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & \kappa\cos\alpha ds & -\kappa\sin\alpha ds\\
-\kappa\cos\alpha ds & 0 & \tau ds+d\alpha\\
\kappa\sin\alpha ds & -\tau ds-d\alpha & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} T\\ t\\ u\end{pmatrix}
\]

令 $\kappa_g:=\kappa\cos\alpha$, $\kappa_n:=-\kappa\sin\alpha$, $\tau_{\gamma}:=\tau+\dot{\alpha}(s)$, 分别称为测地曲率(geodesic curvature)、法曲率(normal curvature)、测地挠率(geodesic torsion, or relative torsion).

则有

\[
d\begin{pmatrix} T\\ t\\ u\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & \kappa_g ds & \kappa_n ds\\
-\kappa_g ds & 0 & \tau_{\gamma}ds\\
-\kappa_n ds & -\tau_{\gamma}ds & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} T\\ t\\ u\end{pmatrix}
\]

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Darboux_frame#Geodesic_curvature.2C_normal_curvature.2C_and_relative_torsion