换言之, 三维空间中一条曲线是直线当且仅当其曲率和挠率均处处为零.

必要性是显然的, 直线是平面曲线, 因此挠率处处为零, 曲率也处处为零.

关键是证明充分性.

由于挠率处处为零, 因此 $\omega$ 矩阵形如

\[\begin{pmatrix}0 & \omega_{12} & 0\\ -\omega_{12} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]

我们可以证明这样的曲线一定是平面曲线(问题588), 从而再应用平面曲线的结论(平面曲线的曲率如果处处为零, 则必为直线问题587), 即证完.

设 $\vec{\gamma}=\vec{\gamma}(s)$ 是一空间曲线. 记

\[
A=A(s)=
\begin{pmatrix}
0 & \kappa(s) & 0\\
-\kappa(s) & 0 & \tau(s)\\
0 & -\tau(s) & 0
\end{pmatrix}.
\]

设曲线 $\vec{\gamma}_j=\vec{\gamma}_j(s)$, $j=1,2,3$ 是方程组

\[
\begin{cases}
\frac{d\vec{\gamma}_1}{ds}=a_{1}^{i}\vec{\gamma}_i,\\
\frac{d\vec{\gamma}_2}{ds}=a_{2}^{i}\vec{\gamma}_i,\\
\frac{d\vec{\gamma}_3}{ds}=a_{3}^{i}\vec{\gamma}_i.
\end{cases}
\]

在初始条件

\[\vec{\gamma}_1(0),\ \vec{\gamma}_2(0),\ \vec{\gamma}_3(0) \text{是一组标准正交基}\]

下的惟一解.

(i) 证明 $\vec{\gamma}_1(s),\ \vec{\gamma}_2(s),\ \vec{\gamma}_3(s)$ 对所有 $s$ 都是标准正交的.

(ii) 定义

\[\gamma^*=\gamma_0+\int_0^s\gamma_1(s)ds\]

证明

\[\gamma_1(s)=v^*(s),\quad\gamma_2(s)=n^*(s),\quad\gamma_3(s)=b^*(s)\]

其中 $v^*(s)$, $n^*(s)$, $b^*(s)$ 是相应于 $\gamma^*(s)$ 的切向量、法向量和副法向量.

并证明 $\gamma^*(s)$ 的曲率和挠率与原曲线 $\gamma(s)$ 的曲率、挠率一致. 即 $\kappa^*(s)=\kappa(s)$, $\tau^*(s)=\tau(s)$.

证明: 设 $c:I\rightarrow\mathbb{R}^3$ 是三维欧氏空间中的一条正则曲线, 即 $\dot{c}(t)$ 处处非零.

假设其位于某个平面 $\pi$ 内, 若 $e_1(t)=\dot{c}(t)/|\dot{c}(t)|$ 是其单位切向量场, 则 $\dot{e}_1(t)\in\pi$, 从而 $\dot{e}_2(t)$ 也位于平面 $\pi$ 内. 事实上, 根据典型 Frenet 标架的构造(利用 Gram-Schmidt 正交化), 有

\[\tilde{e}_2(t)=-(\ddot{c}(t)\cdot e_1(t))e_1(t)+\ddot{c}(t)\]

而 $\ddot{c}(t)\in\pi$, 因此 $e_2(t)=\tilde{e}_2(t)/|\tilde{e}_2(t)|$ 也位于平面 $\pi$ 内, 且 $e_1(t)\perp e_2(t)$, 从而 $e_3(t)$ 平行于平面 $\pi$ 的法向量. 于是由挠率的定义

\[\tau(t):=\frac{\dot{e}_2(t)\cdot e_3(t)}{|\dot{c}(t)|}\equiv 0.\]

反之, 若挠率(第二曲率)处处为零, 则由于曲线在经过 $\mathbb{R}^3$ 的等距变换后, 曲线的各曲率保持不变, 即, $\omega$ 矩阵保持不变, 因此可以断言此时曲线必为平面曲线. 因为平面曲线的 $\omega$ 矩阵是 $2\times 2$ 的, 没有第二曲率, 可以自然扩充为 $3\times 3$ 的 $\omega$ 矩阵. (或者也可以通过取定某个平面, 证明此平面即为包含该曲线的平面, 见答案)

证明: 设 $c:I\rightarrow\mathbb{R}^2$ 是一平面曲线, $e_1,e_2:I\rightarrow\mathbb{R}^2$ 是该曲线的典型活动标架(distinguished Frenet frame), 则满足下面的方程.

\[\dot{e}_i(t)=\sum_{j}\omega_{ij}(t)e_j(t),\]

其中 $\omega_{ij}(t):=\dot{e}_i(t)\cdot e_j(t)=-\omega_{ji}(t)$.

曲线的第 $i$ 个曲率($i=1,2,\ldots,n-1$)定义为

\[K_i(t):=\frac{\omega_{i,i+1}(t)}{|\dot{c}(t)|}.\]

这里考虑的是平面曲线, 于是只有 $K_1$, 一般记为 $\kappa(t)$. 且由题设等于0. 因此 $\omega_{12}(t)=0,\ \forall\ t\in I$. 从而 $\dot{e}_1(t)\cdot e_2(t)=0$, 又 $e_1(t)=\dot{c}(t)/|\dot{c}(t)|$, 因此 $\dot{e}_1(t)=0,\ \forall\ t\in I$ (具体见答案, 注意并不能推出 $\ddot{c}(t)\equiv 0$), 这推出在某个参数 $s$ 下, $c:I\rightarrow\mathbb{R}^2$ 是线性映射, 即是一平面曲线.

事实上, 我们可以得到下面关于直线的刻画命题.

对于平面直线, 下面的条件是等价的.

(1) $\kappa(t)=0$, 对所有 $t\in I$;

(2) $c$ 可以表示为 $c(t)=(t-t_0)v+v_0$, 其中 $t_0\in\mathbb{R}$, $v,v_0\in\mathbb{R}^2$, 且 $v\neq 0$. 即 $c$ 是一条直线.

References:

GTM51, Wilhelm Klingenberg, A Course in Differential Geometry. 微分几何教程.

渐开线在极坐标系下的方程
\[ \begin{cases} \rho=\frac{r}{\cos\alpha},\\ \theta=\tan\alpha-\alpha. \end{cases} \] 在机械原理中, $\alpha$ 称为压力角, $\tan\alpha-\alpha$ 叫做 $\alpha$ 的渐开线函数, 记为 $\mathrm{inv}\alpha$. (请画出图形.)

参考文献:
苏步青、华宣积、忻元龙著, 实用微分几何引论. 科学出版社r