写出圆柱螺旋曲线(circular helix) $\gamma(t)=(a\cos t,a\sin t,ct)$, $a > 0$, $c\neq 0$ 的 Serret-Frenet 标架 $\vec{v},\vec{n},\vec{b}$. 并求其曲率和挠率.

反之当然也对, 因此也可以叙述为:

球面曲线具有常曲率当且仅当是个圆.

证明: 曲线 $\vec{r}=\vec{r}(s)$ 位于半径为 $R$ 的二维球面 $S^2(R)$ 上, 当且仅当其曲率和挠率满足下面的公式:

\[
R^2=\frac{1}{\kappa^2(s)}\biggl[1+\frac{(\dot{\kappa}(s))^2}{\tau^2(s)\kappa^2(s)}\biggr],
\]

其中 $\dot{\kappa}=\frac{d\kappa}{ds}$. 这里假设 $\tau(s)\neq 0,\ \forall\ s$.

Remark

值得注意的是, 上面的关系需要条件 $\tau(s)\neq 0$. 比如球面 $S^2(R)$ 上非大圆的圆弧即不满足此关系式.

曲线形如

\[r(s)=-\frac{\ddot{r}(s)}{|\ddot{r}(s)|^2}+b(s)\dot{r}(s)\times\ddot{r}(s).\]

证明: 对于光滑闭曲线 $C:\vec{r}=\vec{r}(s)$, 有

\[\int_C(\vec{r}\dot{\kappa}+\tau\vec{b})ds=0\]

成立. 这里 $s$ 为弧长参数, $\vec{b}$ 是副法向量(deputy normal vector)

\[\vec{b}=\frac{\dot{r}(s)\times\ddot{r}(s)}{|\dot{r}(s)\times\ddot{r}(s)|}.\]

这里 $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ 指混合积, 即等于 $\bigl\langle\vec{a}\times\vec{b},\vec{c}\bigr\rangle$. 对于三维(列)向量, 也等于行列式 $\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$.

1. $\vec{r}=e^t(\sin t,\cos t,1)$,
2. $\vec{r}=a(\cosh t,\sinh t,t)$.

中心力对中心的力矩(moment)为零 $\vec{r}\times\vec{F}=0$, 从而角动量(angular momentum) $\vec{J}=m\vec{r}\times\vec{v}$ 守恒, 因为

\[
\begin{split}
\frac{d\vec{J}}{dt}&=m\dot{\vec{r}}\times\vec{v}+m\vec{r}\times\dot{\vec{v}}\\
&=m\vec{v}\times\vec{v}+m\vec{r}\times\vec{F}\\
&=0.
\end{split}
\]

角动量守恒即推出粒子的轨迹一定在与 $\vec{J}$ 垂直的某个平面内.

比如, 重力是中心保守力(central conservative force), 其能量(energy)和角动量(angular momentum)都是守恒的, 因此粒子在重力场下的轨迹也被限制于某个平面内.

设粒子的轨迹可被曲线 $\vec{\gamma}:I\rightarrow\mathbb{R}^3$ 所描述. 则运动方程是

\[
\frac{d^2\vec{\gamma}}{dt^2}=F(r)\vec{e}_r
\]

这里约定对于曲线 $\vec{\gamma}$ 有时简记为 $\gamma$. 求解此方程.

References:

Frank C. van den Bosch (天文学家)

http://www.astro.yale.edu/vdbosch/lecture3.pdf

这里考虑三维欧氏空间中的正则曲线 $c: I\rightarrow\mathbb{R}^3$, 弧长微元 $ds$ 有下面这几种表示.

\[ds^2=|dc|^2=dx^2+dy^2+dz^2.\]

若使用柱坐标系,

\[x=\rho\cos\theta,\quad y=\rho\sin\theta,\quad z=z\]

则

\[ds^2=d\rho^2+\rho^2d\theta^2+dz^2;\]

若采用球坐标系

\[
\begin{cases}
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\\
y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\\
z=\rho\cos\varphi.
\end{cases}
\]

则

\[ds^2=d\rho^2+\rho^2d\varphi^2+\rho^2\sin^2\varphi d\theta^2.\]

若曲线 $c(s)$ 是正则曲线, 且以弧长为参数, 证明

\[\kappa(s)=|\ddot{c}(s)|,\quad\tau(s)=\frac{\det(\dot{c}(s),\ddot{c}(s),\dddot{c}(s))}{\kappa^2(s)}.\]

Frenet 标架为

\[\vec{v}(s)=e_1(s)=\dot{c}(s),\quad\vec{n}(s)=e_2(s)=\frac{\ddot{c}(s)}{|\ddot{c}(s)|},\quad\vec{b}(s)=e_3(s)=\frac{\dot{c}(s)\times\ddot{c}(s)}{|\ddot{c}(s)|}.\]

若曲线 $c(t)$ 以一般参数表示, 证明

\[\kappa(t)=\frac{|\dot{c}(t)\times\ddot{c}(t)|}{|\dot{c}(t)|^3},\quad\tau(t)=\frac{\det(\dot{c}(t),\ddot{c}(t),\dddot{c}(t))}{|\dot{c}(t)\times\ddot{c}(t)|^2}.\]

Frenet 标架为

\[
\begin{aligned}
\vec{v}(t)&=e_1(t)=\frac{\dot{c}(t)}{|\dot{c}(t)|},\\
\vec{n}(t)&=e_2(t)=\frac{(\dot{c}(t)\times\ddot{c}(t))\times\dot{c}(t)}{|(\dot{c}(t)\times\ddot{c}(t))\times\dot{c}(t)|},\\
\vec{b}(t)&=e_3(t)=\frac{\dot{c}(t)\times\ddot{c}(t)}{|\dot{c}(t)\times\ddot{c}(t)|}.
\end{aligned}
\]

并证明不论用什么参数表示曲线, 曲线的曲率和挠率是不依赖于参数的. 即有

\[\kappa(s)=\kappa(t),\qquad\tau(s)=\tau(t).\]

不但如此, Frenet 标架也是一致的. 即有

\[e_i(s)=e_i(t),\qquad i=1,2,3.\]

当曲线的曲率 $\kappa\equiv\text{const.}$ 且挠率 $\tau\equiv\text{const.}$ 时, 这样的曲线是什么样的?

回忆

第 $i$ 个曲率为 $K_i(t):=\frac{\omega_{i,i+1}(t)}{|\dot{c}(t)|}$.

这里不妨设曲线以弧长为参数. $c:\ I\rightarrow\mathbb{R}^3$, $s\mapsto c(s)$, $s$ 为弧长参数.

则

\[
e_1(s)=\dot{c}(s),\quad e_2(s)=\frac{\ddot{c}(s)}{|\ddot{c}(s)|},\quad e_3(s)=\frac{\dot{c}(s)\times\ddot{c}(s)}{|\ddot{c}(s)|},\quad\kappa(s)=|\ddot{c}(s)|
\]

\[
\tau(s)=\frac{\det(\dot{c}(s),\ddot{c}(s),\dddot{c}(s))}{\kappa^2(s)}
\]

详见问题724的解答.