证明: 曲线 $r(t)$ 是平面曲线当且仅当 $(\dot{r}(t),\ddot{r}(t),\ddot{r}(t))=0$.
这里 $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ 指混合积, 即等于 $\bigl\langle\vec{a}\times\vec{b},\vec{c}\bigr\rangle$. 对于三维(列)向量, 也等于行列式 $\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$.
这里 $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ 指混合积, 即等于 $\bigl\langle\vec{a}\times\vec{b},\vec{c}\bigr\rangle$. 对于三维(列)向量, 也等于行列式 $\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$.
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根据 问题588, 三维空间中曲线是平面曲线当且仅当其挠率处处为零.
而回忆三维空间中曲线挠率的计算公式
\[\tau(t)=\frac{\det(\dot{c}(t),\ddot{c}(t),\dddot{c}(t))}{|\dot{c}(t)\times\ddot{c}(t)|^2},\]
可知, 曲线 $r(t)$ 是平面曲线当前仅当 $(\dot{r}(t),\ddot{r}(t),\ddot{r}(t))=0$.