问题及解答

反之当然也对, 因此也可以叙述为:

球面曲线具有常曲率当且仅当是个圆.

假设 $c(s)$ 是球面 $S^2(R)$ 上的一条曲线, 根据 问题734, 若挠率处处非零, 则有下面的关系式

\[
R^2=\frac{1}{\kappa^2(s)}\biggl[1+\frac{(\dot{\kappa}(s))^2}{\tau^2(s)\kappa^2(s)}\biggr],
\]

现曲线 $c(s)$ 的曲率 $\kappa(s)\equiv\kappa$ 为常数, 则由上式, 得

\[
R^2=\frac{1}{\kappa^2(s)}=\frac{1}{\kappa^2},
\]

即有 $\kappa\equiv=\frac{1}{R}$, 从而曲线 $c(s)$ 是球面上大圆的某段圆弧.

若曲线的挠率处处为零, 则由 问题734,

\[
\begin{split}
r(s)&=-\frac{\ddot{r}(s)}{|\ddot{r}(s)|^2}+b(s)\dot{r}(s)\times\ddot{r}(s)\\
&=-\frac{1}{\kappa(s)}e_2(s)+b(s)\kappa(s)e_3(s)
\end{split}
\]

取模长, 得

\[R^2=|r(s)|^2=\frac{1}{\kappa^2(s)}+b^2(s)\kappa^2(s)\]

由于曲线具有常曲率, 即 $\kappa(s)\equiv\kappa$, 于是 $b(s)\equiv b$ 也是常值函数. 从而

\[r(s)=-\frac{1}{\kappa}e_2(s)+\kappa b e_3(s).\]

于是

\[r(s)-\kappa b e_3(s)=-\frac{1}{\kappa}e_2(s),\]

\[|r(s)-\kappa b e_3(s)|=\frac{1}{\kappa},\]

即曲线是一段圆弧.