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问题及解答

证明曲线的长度可以作为曲线上有限个点按顺序连接组成的折线长度的极限.

Posted by haifeng on 2013-07-01 08:38:17 last update 2013-07-01 08:38:17 | Edit | Answers (0)

设 $\gamma:\ I\rightarrow\mathbb{R}^3$ 是三维空间中的一条曲线. 取点 $a_i=\gamma(t_i)$, $0=t_0 < t_1 < \ldots < t_n=1$. 按顺序用直线段连接这些点, 每个直线段记为 $\overline{a_i a_{i+1}}$. 得到折线, 记为 $\hat{\gamma}$. 令这些直线段长度的最大值为 $\lambda$, 证明

\[
\text{length}(\gamma)=\lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{i=0}^{n-1}\text{length}(\overline{a_i a_{i+1}}).
\]