问题及解答

给定一曲面 $\vec{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$, 设 $K$ 是曲面的 Gauss 曲率, $E,F,G$ 是曲面的第一基本量. 令 $W^2=EG-F^2$, 则有下面的公式

\[
W^4K=
\begin{vmatrix}
(-\frac{1}{2}G_{uu}+F_{uv}-\frac{1}{2}E_{vv}) & \frac{1}{2}E_u & (F_u-\frac{1}{2}E_v)\\
(F_v-\frac{1}{2}G_u) & E & F\\
\frac{1}{2}G_v & F & G\\
\end{vmatrix}-
\begin{vmatrix}
0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\
\frac{1}{2}E_v & E & F\\
\frac{1}{2}G_u & F & G\\
\end{vmatrix}
\]

这里总假设 $EG-F^2>0$.

特别的, 当 $E=G$, $F=0$ 时, 若令 $E=G=\lambda(u,v)$, 则上述方程等价于

\[
K=\frac{1}{2\lambda^3}(\lambda_u^2+\lambda_v^2-\lambda\Delta\lambda),
\]

其中

\[
\Delta=\frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}.
\]

由于

\[
\Delta\log\lambda=\frac{\lambda\Delta\lambda-(\lambda_u^2+\lambda_v^2)}{\lambda^2},
\]

因此,

\[
K=-\frac{1}{2\lambda}\Delta\log\lambda.
\]

因此, 曲面上 Gauss 曲率 $K\leqslant 0$ 当且仅当 $\Delta\log\lambda\geqslant 0$. 如果用 F. Riesz 的术语, 若 $\log\lambda$ 是次调和的(subharmonic), 则 $K\leqslant 0$.

次调和函数与负曲率曲面之间的关系暗示了次调和函数理论在几何上的应用. 另一方面, 几何解释提出了与次调和函数相关的问题.

References:

E. F. Beckenbach and T. Rado, Subharmonic functions and surfaces of negative curvature. Trans. Amer. Math. Soc. 35 (1933), 662–674.

我们先做简单的. 考虑 $E=G$, $F=0$ 时. 此时公式的右边等于

\[
\begin{split}
&=
\begin{vmatrix}
(-\frac{1}{2}E_{uu}-\frac{1}{2}E_{vv}) & \frac{1}{2}E_u & -\frac{1}{2}E_v\\
-\frac{1}{2}E_u & E & 0\\
\frac{1}{2}E_v & 0 & E\\
\end{vmatrix}-
\begin{vmatrix}
0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}E_u\\
\frac{1}{2}E_v & E & 0\\
\frac{1}{2}E_u & 0 & E\\
\end{vmatrix}\\
&=-\frac{1}{2}(E_{uu}+E_{vv})E^2+\frac{1}{4}E_v^2E+\frac{1}{4}E_u^2E-(-\frac{1}{4}E_u^2E-\frac{1}{4}E_v^2E)\\
&=\frac{1}{2}E\Bigl[E_u^2+E_v^2-E(E_{uu}+E_{vv})\Bigr]
\end{split}
\]

将 $E=\lambda(u,v)$ 代入, 并注意到 $W^2=EG-F^2=\lambda^2$, 从而得到

\[
\lambda^4 K=\frac{1}{2}\lambda(\lambda_u^2+\lambda_v^2-\lambda\Delta\lambda),
\]

由于假设 $\lambda>0$, 因此

\[
K=\frac{1}{2\lambda^3}(\lambda_u^2+\lambda_v^2-\lambda\Delta\lambda),
\]

下面验证

\[
\Delta\log\lambda=\frac{\lambda\Delta\lambda-(\lambda_u^2+\lambda_v^2)}{\lambda^2}.
\]

Proof.

\[
\begin{aligned}
&\frac{\partial}{\partial u^2}\log\lambda=\frac{\partial}{\partial u}(\frac{1}{\lambda}\lambda_u)=-\frac{1}{\lambda^2}\lambda_u^2+\frac{1}{\lambda}\lambda_{uu}\\
&\frac{\partial}{\partial v^2}\log\lambda=\frac{\partial}{\partial v}(\frac{1}{\lambda}\lambda_v)=-\frac{1}{\lambda^2}\lambda_v^2+\frac{1}{\lambda}\lambda_{vv}\\
\end{aligned}
\]

因此,

\[
\Delta\log\lambda=(\frac{\partial}{\partial u^2}+\frac{\partial}{\partial v^2})\log\lambda=\frac{\lambda\Delta\lambda-(\lambda_u^2+\lambda_v^2)}{\lambda^2}.
\]

从而有简洁的表达式

\[
K=-\frac{1}{2\lambda}\Delta\log\lambda.
\]