问题及解答

若曲线 $\vec{\gamma}(s)$ 每点处的法平面都经过固定点 $x_0$, 证明该曲线位于以 $x_0$ 为中心的某个球面上.

这里 $s$ 是一般的参数. 曲线在 $s$ 处的法平面方程为

\[\langle \gamma(s)-\vec{OP},\dot{\gamma}(s)\rangle=0,\]

其中 $P$ 是法平面上任一点, $\vec{OP}$ 指以 $P$ 为终点, $O$ 为始点的向量. 根据条件, 法平面都经过固定点 $x_0$. 则有

\[\langle \gamma(s)-\vec{Ox_0},\dot{\gamma}(s)\rangle=0,\]

这推出

\[\langle \gamma(s)-\vec{Ox_0},\dot{\gamma}(s)-\frac{d}{ds}\vec{Ox_0}\rangle=0,\]

即

\[\frac{d}{ds}|\gamma(s)-\vec{Ox_0}|=0.\]

这说明

\[|\gamma(s)-\vec{Ox_0}|=\text{const.}\]