问题及解答

证明: 曲线 $\vec{\gamma}=\vec{\gamma}(s)$ 的曲率和挠率成比例(即, $\kappa=c\tau$), 当且仅当存在某个非零常向量 $\vec{u}$, 使得 $\langle\vec{u},\vec{v}\rangle\equiv\text{const}\neq 0$.

($\Rightarrow$)

设 $\kappa=c\tau$, 则推出

\[
\dot{\vec{v}}=\kappa\vec{n}=c\tau\vec{n}
\]

又 $\dot{\vec{b}}=-\tau\vec{n}$, 故有 $\dot{\vec{v}}+c\dot{\vec{b}}=0$. 这推出

\[
\vec{v}+c\vec{b}=\vec{u}
\]

这个 $\vec{u}$ 是常向量. 并且 $\langle\vec{u},\vec{v}\rangle=1$.

($\Leftarrow$)

设存在常向量 $\vec{u}$, 使得 $\langle\vec{u},\vec{v}\rangle\equiv\text{const}$. 则推出 $\langle\vec{u},\dot{\vec{v}}\rangle=0$.

由于 $\dot{\vec{v}}=\kappa\vec{n}$, 故 $\vec{u}\perp\vec{n}$. 设 $\vec{u}=x\vec{v}+y\vec{b}$.

又 $\dot{\vec{b}}=-\tau\vec{n}$, 故 $\vec{u}\perp\dot{\vec{b}}$, 于是 $\langle\vec{u},\vec{b}\rangle=\text{const}$. 因此可以设

\[
\vec{u}=c_1\vec{v}+c_2\vec{b}
\]

两边求导, 得

\[
\begin{split}
0&=\dot{\vec{u}}=c_1\dot{\vec{v}}+c_2\dot{\vec{b}}\\
&=c_1\kappa\vec{n}+c_2(-\tau)\vec{n}\\
&=(c_1\kappa-c_2\tau)\vec{n}
\end{split}
\]

因此, $c_1\kappa=c_2\tau$, 注意 $c_1\neq 0$, 因为 $\langle\vec{u},\vec{v}\rangle\neq 0$.