问题及解答

求解方程 $\frac{d\vec{\gamma}}{dt}=[\omega,\vec{\gamma}]$, 其中 $\vec{\gamma}=\vec{\gamma}(t)$ 是空间曲线, $\omega$ 是某个常向量.

(这里 $[\omega,\vec{\gamma}]$ 指 $\omega\times\vec{\gamma}$.)

我们省略 $\vec{\gamma}$ 上的箭头符号.

根据题设, $\dot{\gamma}(t)=\omega\times\gamma(t)$. 因此 $\dot{\gamma}(t)\perp\gamma(t)$, 这推出 $|\gamma(t)|=\text{const}.$ 即曲线 $\gamma(t)$ 位于球面上.

另一方面对 $\dot{\gamma}(t)=\omega\times\gamma(t)$ 两边求导, 得

\[
\begin{aligned}
\dot{\gamma}(t)&=\omega\times\gamma(t)\\
\ddot{\gamma}(t)&=\omega\times\dot{\gamma}(t)\\
\dddot{\gamma}(t)&=\omega\times\ddot{\gamma}(t)
\end{aligned}
\]

假设 $\pi$ 是由 $\omega$ 和 $\gamma(t)$ 张成的二维子空间, 则 $\dot{\gamma}(t)\perp\pi$. 由于 $\omega\times\dot{\gamma}(t)\perp\dot{\gamma}(t)$, 故 $\ddot{\gamma}(t)=\omega\times\dot{\gamma}(t)\in\pi$. 因此可设

\[\ddot{\gamma}(t)=\omega\times\dot{\gamma}(t)=\alpha(t)\omega+\beta(t)\gamma(t).\]

两边求导, 得

\[\dddot{\gamma}(t)=\omega\times\ddot{\gamma}(t)=\dot{\alpha}(t)\omega+\dot{\beta}(t)\gamma(t)+\beta(t)\dot{\gamma}(t),\]

将 $\ddot{\gamma}(t)=\omega\times\dot{\gamma}(t)$ 代入, 并应用公式 (见问题726)

\[
\bf a\times(b\times c)=(a\cdot c)b-(a\cdot b)c
\]

得

\[
\langle\omega,\dot{\gamma}(t)\rangle\omega-|\omega|^2\dot{\gamma}(t)=\dot{\alpha}(t)\omega+\dot{\beta}(t)\gamma(t)+\beta(t)\dot{\gamma}(t).
\]

这推出

\[(|\omega|^2+\beta(t))\dot{\gamma}(t)=(\langle\omega,\dot{\gamma}(t)\rangle-\dot{\alpha})\omega-\dot{\beta}(t)\gamma(t).\]

由于 $\dot{\gamma}(t)\perp\pi$, 故 $|\omega|^2+\beta(t)=0$, 即有

\[
\begin{cases}
\dot{\alpha}(t)=\langle\omega,\dot{\gamma}(t)\rangle,\\
\beta(t)=-|\omega|^2.
\end{cases}
\]

因此,

\[\omega\times\dot{\gamma}(t)=\alpha(t)\omega-|\omega|^2\gamma(t).\]

将 $\dot{\gamma}(t)=\omega\times\gamma(t)$ 代入上式, 得

\[\omega\times(\omega\times\gamma(t))=\alpha(t)\omega-|\omega|^2\gamma(t).\]

此即

\[\langle\omega,\gamma(t)\rangle\omega-|\omega|^2\gamma(t)=\alpha(t)\omega-|\omega|^2\gamma(t).\]

这推出 $\alpha(t)=\langle\omega,\gamma(t)\rangle$. 而

\[\dot{\alpha}(t)=\langle\omega,\dot{\gamma}(t)\rangle=\langle\omega,\omega\times\gamma(t)\rangle=0,\]

因此 $\langle\omega,\gamma(t)\rangle=\text{const}$. 加之 $|\gamma(t)|=\text{const}$, 满足锥面上曲线应满足的方程 $\langle\omega,\frac{\gamma(t)}{|\gamma(t)|}\rangle=\text{const}$, 故 $\gamma(t)$ 在以 $\omega$ 为轴的某个锥面上, 它是球面与锥面的交, 是一个小圆.

Remark:

当然, 上面证明过程中有些步骤是多余的, 因为 $\dot{\alpha}(t)=\langle\omega,\dot{\gamma}(t)\rangle$ 可直接推出 $\langle\omega,\gamma(t)\rangle=\text{const}$. 上面只不过是明确求出了 $\alpha(t)=\langle\omega,\gamma(t)\rangle$.